.Ruben. ha scritto:Qualcuno vuole affrontare gli altri punti??
Ho trovato che la lunghezza $L$ della lemniscata di Bernoulli di equazione cartesiana:
$(x^2+y^2)^2 = 2a^2(x^2-y^2)$
[con $a=1/sqrt2$ nel quiz in corso] vale:
$L = 4[sqrt2·a∫_0^1(dt)/sqrt(1-t^4)]$,
dove la variabile di integrazione $t$ può significare:
• $t= tan(φ)$,
oppure• $t= ρ/(sqrt2·a)$
essendo $(ρ,φ)$ le coordinate polari per le quali $x=ρ·cos(φ)$ e $y=ρ·sin(φ)$, cioé:
$ρ=sqrt(x^2+y^2)$; $φ=arctan(y/x)$.
Dopo aver trovato per $L$ la detta espressione con $t= tan(φ)$ (ossia eliminando $ρ$), non riuscendo a fare qell'integrale ho cercato l'espressione di $L$ tramite $ρ$ (ossia elminando $φ$).
Sono rimasto sorpreso nell'arrivare alla medesima espressione con tale diversità di significato della variabile di integrazione!
Con integrazone numerica si trova:
$∫_0^1(dt)/sqrt(1-t^4) ≈1,3110$ (
circa).
Ma non sono riuscito a trovare una primitiva di $1/sqrt(1-t^4)$.
Qualcuno, invece, ne è a conoscenza?
_______
––––
P.S.
Ho appena scoperto che Gauß ha trovato un modo per calcolare questa lunghezza tramite la cosiddetta
"media aritmetico-geometrica" tra $1$ e $sqrt2$.
Siano $a$ e $b$ due distinti numeri reali positivi. Si considerino le due seguenti successioni ${a_n}$ e ${b_n}$ :
$a_0 = a$; $b_0 = b$;
$∀n∈NN$ $a_(n+1) =(a_n + b_n)/2$ $∧$ $b_(n+1) =sqrt(a_n · b_n$.
Le due successioni convergono (abbastanza rapidamente) al medesimo limite che è appunto (per definizione) la
"media aritmetico-geometrica" tra $a$ e $b$, diciamola $M(a, b)$.
Orbene: Gauß ha trovato che
$∫_0^1(dt)/sqrt(1-t^4) ≈π/(2·M(1,sqrt2))$.
[Come abbia fatto ... Dio solo lo sa!]
Si trova subito $M(1,sqrt2)) ≈ 1,19814023473559$ e qundi $π/(2·M(1,sqrt2)) ≈ 1,311028777146061$.
_______