$f=Id_X$?

[dan95]

Sia $X$ spazio topologico. Consideriamo una funzione $f: X \mapsto X$ tale che $\forall U \sube X$ aperto $f|_{U}$ è biunivoca. È vero che $f -= Id_X$?

[Martino]

Scusa ma se l'unico aperto non vuoto è X (topologia banale) come fa ad essere vero?

[dan95]

Ho sbagliato a scrivere sub al posto di sube...corretto

[Martino]

Ripeto se la topologia è quella banale è falso. Ti suggerisco di fare gli esercizi prima di proporli

[dan95]

@martino

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

L'ho inventato... Si vede?!
Infatti se prendiamo $RR$ con la topologia banale e $f(x)=x^3$ è biunivoca in $RR$ ma non è l'identità... Forse era meglio impostarlo a domanda

[Martino]

Si vede sì

Forse vuoi dire

Sia $X$ spazio topologico di Hausdorff e $f:X to X$ continua e biiettiva tale che $f(U)=U$ per ogni aperto $U$ di $X$. Allora $f$ è l'identità. Non so se è vero ma mi sembra più ragionevole.

[j18eos]

Non è vero per gli spazi non Hausdorff: sia \(\displaystyle(X,\mathcal{T})\) uno spazio topologico tale che
\[
X=\{a,b,c\}\\
\mathcal{T}=\{\emptyset,\{a\},X\},
\]
la permutazione di \(\displaystyle X\) che fissa \(\displaystyle a\) e scambia \(\displaystyle b\) e \(\displaystyle c\) soddisfa l'ipotesi di fissare gli aperti di \(\displaystyle X\) ma si tratta dell'identità.

[dan95]

Come separo $b$ e $c$ con aperti disgiunti?

[j18eos]

Mi sto facendo vecchio; volevo fornire un esempio a favore della versione di Martino, e invece ho scritto una cretinata (poi corretta)!

[dan95]

È necessario esplicitare l'ipotesi di continuità? Se è biiettiva su ogni aperto allora $f^{-1}(U)=U$ per ogni $U \sube X$ aperto...