[Analisi] Una serie

[dan95]

Calcolare al variare di $\alpha>0$
$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{\alpha+n^2}$

[Martino]

Avevo chiesto una cosa analoga qui.

[dan95]

@Martino

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Con la formula di sommazione di Poisson si può risolvere il problema nel caso $P(x)$ sia irriducibile di secondo grado, basta scriverlo come $(x-a)^2+b$ con $b>0$

[spugna]

Io avevo fatto così:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Uso la formula $pi * cot (pi z)=1/z+sum_(n=1)^(+oo) (1/(z-n)+1/(z+n))=1/z-sum_(n=1)^(+oo) (2z)/(n^2-z^2)$

Valutando in $z=i sqrt (alpha) $ si ottengono i denominatori desiderati, e con un paio di passaggi elementari si conclude.

[dan95]

Queste sono soluzioni poco brillanti, cercavo una soluzione elementare che non fa uso di formule di sommazione o serie di Laurent