Buongiorno ragazzi, magari è una stupidaggine ma chiedo comunque... Volevo chiedere se era vero che se una funzione è invertibile localmente in ogni punto del suo dominio allora è invertibile. Federico
In particolare, un corollario di questo teorema è che:
Sia $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ una funzione di classe $C^1$ tale che $det(f'(x)) \ne 0 \forall x \in \mathbb{R}^n$ e $|f(x)| \to \infty$ se $|x| \to \infty$. Allora $f$ è un omeomorfismo da $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^n$ e, in particolare, l'equazione $y=f(x)$ ammette una e una sola soluzione $\forall y \in \mathbb{R}^n$
Molto più semplicemente, basta considerare la funzione esponenziale \[ \exp\colon \mathbb C\to \mathbb C\setminus\{0\}.\] Essa è invertibile localmente intorno ad ogni punto ma non è invertibile globalmente.
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Sempre meglio rispondere con un esempio concreto, piuttosto che invocare teoremi, specie se poco conosciuti.