Ciao dissonance, sempre grazie mille per i link e gli spunti: dovrei mettermi a giocare con robe tipo riflessività e formulazioni deboli in questo periodo, ma trovo questi esercizi/spunti sempre un sacco interessanti...
La dimostrazione era fatta un po' di fretta, l'ho sistemata (credo):
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Lemma
Sia \( \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} \) una successione tale che \( |x_{n+1}-x_n| \to 0 \). Allora l'insieme dei punti limite della successione è connesso.
Dimostrazione
Se l'insieme è vuoto oppure è composto da un solo punto allora è connesso. Altrimenti, se contiene almeno 2 punti distinti, dimostro che è convesso che implica che è connesso.
Siano dunque $a,b$ due punti limite distinti della successione. Senza perdere di generalità posso considerare $a<b$. Sia $x \in RR$ tale che $a<x<b$. L'obiettivo è mostrare che anche $x$ è un punto limite della successione ovvero che esiste \( \{x_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) tale che $x_{n_k] \to x$.
Sia \( d:= \min \{ |x-a|, |x-b| \} \) e sia \( \epsilon_n := \frac{d}{n+1} \) per ogni $n \in NN$.
Per definizione di successione convergente, esiste un $M \in NN$ tale che $|x_{k+1}-x_k|< \epsilon_n$ per ogni $k>M$.
Per definizione di (sotto)successione convergente:
1. esiste un $k_1>M$ tale che $|x_{k_1} -a|<\epsilon_n$
2. esiste un $k_2>k_1$ tale che $|x_{k_2}-b|< \epsilon_n$.
In particolare si ha dunque che $x_{k_1} <= x <= x_{k_2} $.
Allora esiste un \( \overline{k} : k_1 \le \overline{k} \le k_2 \) tale che \( |x_{\overline{k}}-x|<\epsilon_n\).
Infatti le palle \( B_{\epsilon_n} (x_{k_1}), B_{\epsilon_n} (x_{k_1+1}), \dots, B_{\epsilon_n} (x_{k_2}) \) hanno intersezione non vuota a coppie e dunque la loro unione è connessa e contiene $a$ e $b$. Dunque contiene $[a,b]$ e quindi $x$ appartiene all'unione di tali palle. Ovvero ne esiste una a cui $x$ appartiene. Chiamo $\overline{k}$ l'indice associato a tale palla.
Quindi in definitiva ho mostrato che per ogni $n \in NN$ è possibile trovare un elemento $x_{\overline{k}} \in \{x_n\}_{n \in NN}$ tale che $|x_{\overline{k}}-x|<\epsilon_n$. Ovvero si è estratta una sottosuccessione convergente a $x$.
@Delirium, bene! Sono contento di averti convinto
Purtroppo la mia dimostrazione non so quanto sia adattabile ad uno spazio metrico generale perché, anche solo in $RR^n$, la parte dove uso la connessione dell'unione di palle, fallisce. Suggerimenti?
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)