Sto scrivendo dal cellulare: mi scuso anticipatamente per eventuali errori di forma.
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$P = 7$ é condizione sufficiente affinché il sistema ammetta soluzioni non banali, perché (ad esempio) la terna (1, 2, 4) risolve.
Dimostro ora che é condizione necessaria, ossia che se $p \ne 7$ il sistema ammette come unica soluzione la terna (0,0,0).
Sia quindi $p \ne 7$.
Si vede subito dalla seconda e dalla quarta eq. che, se x=0, allora y=z=0: in generale si vede subito che, se xyz=0, allora x=y=z=0.
Abbiamo ora 2 casi: p = 3 e p diverso da 3.
Se p = 3 le ultime tre eq. forniscono subito x=y=z=0.
Analizziamo dunque il secondo caso.
Dalla terza eq. ottengo: $x^3y = -3 y^3z$ e dalla quarta ottengo: $xz^3 = -1/3 y^3 z$; sostituendo nella prima ottengo: $7/3 y^3z=0$, da cui, poiché $7 \ne 0$ (avendo posto $p \ne 7$), deriva: $y^3z =0$, ossia x=y=z=0.
Q.E.D.