Io l’avevo fatta più elementare...
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Considero $\Delta (x) := f(x) - x$ che è di classe $C^1$ ed ha $Delta(a) =0 = Delta(b)$. Ho:
\[
\begin{split}
\int_a^b (f^\prime (x))^2 \ \text{d} x &= \int_a^b (\Delta^\prime (x) )^2\ \text{d} x + 2 \int_a^b \Delta^\prime (x) \ \text{d} x + \int_a^b 1\ \text{d} x\\
&\geq 2 \int_a^b \Delta^\prime (x) \ \text{d} x + \int_a^b 1\ \text{d} x\\
&= b - a\;.
\end{split}
\]
D’altra parte, l’uguaglianza è soddisfatta solo se $Delta^\prime (x) = 0$ in $]a,b[$, ossia se $ f(x) = x + C$; dato che $f(a) = a$, risulta $C=0$ e dunque $f(x) = x$.
Il che mi porta al seguente
problema:
Cosa accade alla disuguaglianza se $f(a) = A$ ed $f(b) = B$, con $A, B$ non necessariamente coincidenti con $a,b$?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)