Definizione. Uno spazio topologico \(\displaystyle(X,\mathcal{T})\) si definisce TULSC se vale il Teorema di Unicità del Limite di Successioni Convergenti; ovvero, sia \(\displaystyle\{x_n\in X\}_{n\in\mathbb{N}}\) una successione convergente, allora ogni sua sottosuccessione converge allo stesso unico punto \(\displaystyle\overline{x}\in X\).
Esempi di spazi non TULSC.
- Un qualsiasi spazio topologico con almeno due punti distinti e con la topologia banale.
- Lo spazio di Sierpiński.
Esercizi.
- Dimostrare che gli spazi di Hausdorff sono spazi TULSC.
- Dimostrare che gli spazi TULSC sono spazi di Fréchet.
- Gli spazi di Fréchet soddisfacenti al primo assioma di numerabilità sono TULSC?
- Costruire uno spazio TULSC non di Hausdorff.
- Costruire uno spazio di Fréchet non TULSC.