Uuh che fesso che sono, hai ragione. Mi sono anche convinto che la traccia è corretta. Molto bello come esercizio, grazie.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Calcoliamo la derivata
\[\tag{1}
\frac{d}{dm}\int_0^\infty \frac{1}{(1+x^2)(1+x^m)}\, dx = \int_0^\infty \frac{-mx^{m+1}\log x}{(1+x^2)(1+x^m)^2}\, \frac{dx}{x}.\]
Applichiamo il cambio di variabile \(x=y^{-1}\), cosicché \(\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}\) e il membro destro della precedente identità diventa
\[
\int_0^\infty \frac{my^{-1-m}\log y}{(1+y^{-2})(1+y^{-m})^2}\frac{dy}y, \]
che, con un piccolo calcolo, si vede essere esattamente uguale alla (1), ma con il segno opposto. Concludiamo che
\[
\frac{d}{dm}\int_0^\infty \frac{1}{(1+x^2)(1+x^m)}\, dx=0.\]
Calcolando l'integrale per \(m=0\) (come nel tuo precedente post), si ha la tesi.
Ah, una cosa. Non è ovvio che l'integrale in (1) sia convergente per ogni \(m \in\mathbb R\), ma è vero, c'è da fare un piccolo conto.