da Rigel » 01/03/2020, 19:37
Indichiamo con
\[
f_a(y) := \frac{e^{\arctan y}}{1+y^2} \, a y^a
\]
la funzione integranda ottenuta dopo il cambio di variabile $y = \tan(x)$.
Vogliamo dimostrare che $\lim_{a\to +\infty} \int_0^1 f_a(y)\, dy = \frac{1}{2} e^{\pi/4}$.
Fissato $\epsilon \in (0,1)$, esiste $\delta \in (0, 1)$ tale che
\[
\frac{1}{2} e^{\pi/4} - \frac{1}{2} e^{\arctan(1-\delta)} < \epsilon,
\qquad
\frac{1}{1 + (1-\delta)^2} e^{\pi/4} - \frac{1}{2} e^{\pi/4} < \epsilon.
\]
Inoltre, per la convergenza uniforme di $f_a$ a $0$ nell'intervallo $[0, 1-\delta]$ e per la convergenza di $(1-\delta)^{1+a}$ a $0$,, esiste $a_0 > 0$ tale che
\[
0 < \int_0^{1-\delta} f_a(y)\, dy < \epsilon,
\quad
1-\epsilon < \frac{a}{a+1}[1-(1-\delta)^{1+a} ]< 1,
\qquad \forall a > a_0.
\]
Poiché
\[
\frac{1}{2} e^{\arctan(1-\delta)} \frac{a}{a+1}[1-(1-\delta)^{1+a}] \leq
\int_{1-\delta}^1 f_a(y)\, dy
\leq
\frac{1}{1 + (1-\delta)^2} e^{\pi/4}\,
\frac{a}{a+1}[1-(1-\delta)^{1+a}],
\]
dalle maggiorazioni precedenti si ottiene
\[
(1-\epsilon)\left[\frac{e^{\pi/4}}{2} - \epsilon\right]
\leq
(1-\epsilon)\frac{e^{\arctan(1-\delta)}}{2} \leq
\int_{1-\delta}^1 f_a(y)\, dy
\leq
\frac{e^{\pi/4}}{1 + (1-\delta)^2} < \frac{e^{\pi/4}}{2} + \epsilon.
\]
In definitiva
\[
(1-\epsilon)\left[\frac{e^{\pi/4}}{2} - \epsilon\right]
\leq
\int_0^1 f_a(y)\, dy
\leq
\frac{e^{\pi/4}}{2} + 2\epsilon.
\]
Poiché queste maggiorazioni valgono per ogni $\epsilon \in (0,1)$, segue la tesi.