Comunque metto sotto spoiler la soluzione (parziale) che non so se è corretta, in caso qualcuno volesse presentare un altro modo per risolverla (che poi il fatto di non sapere se la soluzione sia o meno corretta la dice tutto su quanto credo che qualcuno si faccia influenzare da essa, ma per correttezza la metto sotto spoiler).
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Allora:
(1)Se $-k$ è un quadrato perfetto abbiamo come soluzioni $(0,+sqrt(-k))$ e $(0,-sqrt(-k))$
(2)Se $k$ è un cubo perfetto abbiamo come soluzione $(k^(1/3),0)$
(3) Ora, per continuare, passo da considerare l'equazione non più in $ZZ$ ma in $ZZ[sqrt(-k)]$ e quindi scrivo $x^3=(y-sqrt(-k))*(y+sqrt(-k))$. Ora, se il prodotto di due termini primi fra loro è un cubo, significa che i due termini sono a loro volta dei cubi e dunque $y+sqrt(-k)=(a+b*sqrt(-k))^3$ e quindi sviluppando abbiamo $y=a^3-3kab^2$ e $1=b(3a^2-b^2*k)$, ora le uniche soluzioni intere della seconda sono per $b=1$ e $b=-1$ e quindi $a=sqrt((1+k)/3)$ o $a=-sqrt((1+k)/3)$. Trovati i valori di $a$ e $b$ ricaviamo che $x=a^2+b^2*k$ e quindi $x=a^2+b^2*k=(4k+1)/3$, mentre $y=sqrt((1+k)/3)*((1+k)/3-3k)$ e $y=-sqrt((1+k)/3)*((1+k)/3-3k)$. Ora, la soluzione è intera se il termine sotto radice è un quadrato perfetto e dunque pongo $k=3n^2-1$ dove $n$ è un numero intero. Facendo questa sostituzione abbiamo $y=n(3-8n^2)$ e $y=n(8n^2-3)$ e $x=4n^2-1$. Essendo queste le uniche soluzioni in $ZZ[sqrt(-k)]$ ed essendo anche soluzioni in $ZZ$ allora sono le uniche soluzioni in $ZZ$.
(4) La soluzione non è completa, infatti prendendo $k=996$ ho che non è possibile trovare interi nella forma che ho espresso prima, tuttavia $x=10$ e $y=2$ soddisfano l'equazione $x^3-y^2=996$ e questo mi fa pensare che forse quelle non sono le uniche formule che permettono di esprimere $x$ e $y$ in funzione di $k$ e quindi addio all'unicità. Purtroppo non so dove è presente l'errore.
(1)Se $-k$ è un quadrato perfetto abbiamo come soluzioni $(0,+sqrt(-k))$ e $(0,-sqrt(-k))$
(2)Se $k$ è un cubo perfetto abbiamo come soluzione $(k^(1/3),0)$
(3) Ora, per continuare, passo da considerare l'equazione non più in $ZZ$ ma in $ZZ[sqrt(-k)]$ e quindi scrivo $x^3=(y-sqrt(-k))*(y+sqrt(-k))$. Ora, se il prodotto di due termini primi fra loro è un cubo, significa che i due termini sono a loro volta dei cubi e dunque $y+sqrt(-k)=(a+b*sqrt(-k))^3$ e quindi sviluppando abbiamo $y=a^3-3kab^2$ e $1=b(3a^2-b^2*k)$, ora le uniche soluzioni intere della seconda sono per $b=1$ e $b=-1$ e quindi $a=sqrt((1+k)/3)$ o $a=-sqrt((1+k)/3)$. Trovati i valori di $a$ e $b$ ricaviamo che $x=a^2+b^2*k$ e quindi $x=a^2+b^2*k=(4k+1)/3$, mentre $y=sqrt((1+k)/3)*((1+k)/3-3k)$ e $y=-sqrt((1+k)/3)*((1+k)/3-3k)$. Ora, la soluzione è intera se il termine sotto radice è un quadrato perfetto e dunque pongo $k=3n^2-1$ dove $n$ è un numero intero. Facendo questa sostituzione abbiamo $y=n(3-8n^2)$ e $y=n(8n^2-3)$ e $x=4n^2-1$. Essendo queste le uniche soluzioni in $ZZ[sqrt(-k)]$ ed essendo anche soluzioni in $ZZ$ allora sono le uniche soluzioni in $ZZ$.
(4) La soluzione non è completa, infatti prendendo $k=996$ ho che non è possibile trovare interi nella forma che ho espresso prima, tuttavia $x=10$ e $y=2$ soddisfano l'equazione $x^3-y^2=996$ e questo mi fa pensare che forse quelle non sono le uniche formule che permettono di esprimere $x$ e $y$ in funzione di $k$ e quindi addio all'unicità. Purtroppo non so dove è presente l'errore.