Un integrale "sorprendente"

[obnoxious]

Ex. Mostrare che \[ \int_0^{2 \pi} \cos( \cos (x)) \cosh(\sin (x)) \, d x = 2 \pi. \]

Hint.

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Può essere utile ricordare il seguente corollario della formula integrale di Cauchy:

Corollario. Sia \( f (z) \) una funzione analitica in un dominio \( G \subset \mathbb{C} \) con \(G\) contenente il disco (chiuso) di raggio \( \rho > 0\) e centro \( z_0\). Allora \[ f(z_0) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} f(z_0 + \rho e^{i x}) \, dx.\]

[Mathita]

Un esercizio davvero molto carino (che non sarei stato in grado di risolvere se non avessi riportato l'Hint.)

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La funzione $g(x)=\cos(\cos(x))\cosh(\sin(x))$ è la parte reale della funzione complessa (di variabile reale) $\tilde{g}(x)=\cos(e^{ix})$ che si presenta esattamente nella forma $f(z_0+\rho e^{ix})$ con $z_0=0,\rho=1$ e $f(z)=\cos(z)$.

Osservato che $f(z)$ è una funzione analitica in $\mathbb{C}$, il corollario della formula integrale di Cauchy garantisce che

$\int_{0}^{2\pi}\cos(e^{ix})\mbox{d}x=2\pi\cos(0)=2\pi$

pertanto


$\int_{0}^{2\pi}g(x)\mbox{d}x=\mbox{Re}\left[\int_{0}^{2\pi}\cos(e^{ix})\mbox{d}x\right]=2\pi$

Spero sia tutto ok!

[obnoxious]

Un esercizio davvero molto carino (che non sarei stato in grado di risolvere se non avessi riportato l'Hint.)

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La funzione $g(x)=\cos(\cos(x))\cosh(\sin(x))$ è la parte reale della funzione complessa (di variabile reale) $\tilde{g}(x)=\cos(e^{ix})$ che si presenta esattamente nella forma $f(z_0+\rho e^{ix})$ con $z_0=0,\rho=1$ e $f(z)=\cos(z)$.

Osservato che $f(z)$ è una funzione analitica in $\mathbb{C}$, il corollario della formula integrale di Cauchy garantisce che

$\int_{0}^{2\pi}\cos(e^{ix})\mbox{d}x=2\pi\cos(0)=2\pi$

pertanto


$\int_{0}^{2\pi}g(x)\mbox{d}x=\mbox{Re}\left[\int_{0}^{2\pi}\cos(e^{ix})\mbox{d}x\right]=2\pi$

Spero sia tutto ok!

Sì! Incidentalmente si ottiene gratuitamente un altro integrale sgangherato, cioè \[ \mathfrak{Im} \left[ \int_0^{2 \pi} \cos(e^{i x}) \, dx \right] = 0. \]

[dissonance]

Sì! Incidentalmente si ottiene gratuitamente un altro integrale sgangherato, cioè \[ \mathfrak{Im} \left[ \int_0^{2 \pi} \cos(e^{i x}) \, dx \right] = 0. \]

Questo però si può risolvere per simmetria. Infatti,
\[\cos(\overline z)=\overline{\cos z}, \]
quindi il cambio di variabile \(x\mapsto -x\) mostra che
\[
\int_0^{2\pi} \cos(e^{ix})\,dx = \overline{ \int_0^{2\pi} \cos(e^{ix})\,dx}, \]
ovvero,
\[
\Im \int_0^{2\pi} \cos(e^{ix})\,dx =0.\]