[Esercizio] Un limite "sorprendente"

[3m0o]

Vi propongo un esercizio che trovo molto affascinante.

Sia \(N\) un intero positivo e \( L(N) := \operatorname{lcm}(1,2,3,\ldots,N) \), il più piccolo comune multiplo di \(1,2,3,\ldots,N\). Dimostra che
\[ \lim_{N \to \infty} L(N)^{1/N} = e \]
è equivalente a dire
\[ \lim_{ N \to \infty} \frac{\pi(N)}{ \left( \frac{N}{\log(N)} \right)} = 1 \]
dove \(e \) è il numero di Eulero, \( \pi \) è la funzione enumerativa dei primi.
Hint:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Mettere in relazione \( L(N)\) con la funzione di Chebyschev, i.e. \[ \psi(N) = \sum_{n \leq N} \Lambda(n) \]
dove \( \Lambda \) è la funzione di Von Mangoldt.

[3m0o]

Nessuno ci prova?

[obnoxious]

Nessuno ci prova?

Non sono nemmeno sicuro che in Italia esistano corsi di teoria analitica dei numeri... forse a Parma dove c'è Zaccagnini? Questo per spiegare perché nessuno risponde.

[hydro]

Sì in Italia c'è pochissima teoria analitica dei numeri. A Genova c'è qualcuno.

[3m0o]

Mi sorprende molto questa cosa, ad ogni modo allora per chi volesse provare, prima di pubblicare la soluzione, do più hints

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dimostrare che
\[ \log L(N) = \sum_{n \leq N} \Lambda(n) \]
pensate a qual è la definizione di \(\operatorname{lcm}\) e ragionate, per ogni \(p\) primo fissato, sulla massima potenza \(k\) tale che \(p^k \mid L(N)\).
Vi ricordo che
\[ \psi(N) \sim N \]
è equivalente a
\[ \pi(N) \sim \frac{N}{\log N} \]

[3m0o]

Soluzione

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sia \(p \leq N \) un primo fissato, e \( k_p = k = \begin{bmatrix}
\frac{\log N}{\log p}
\end{bmatrix} \) il massimo esponente tale che \( p^k \mid N \), siccome non esiste \( m \in \{1,\ldots, N\} \) tale che \( p^{k+1} \mid m \) abbiamo che \( p , p^2,p^3,\ldots,p^k \leq N \) e \( p^{k+1} > N \).
Sia allora \[ L(N) = \prod_{p \leq N} p^{k_p} \]
abbiamo che
\[ \log L(N) = \sum_{p \leq N} k_p \log p = \sum_{n \leq N} \Lambda(n) = \psi(N) \sim N \]
se e solo se
\[ L(N) \sim e^{N} \]
se e solo se
\[ \lim_{N \to \infty} L(N)^{1/N} = e \]

[dissonance]

in Italia c'è pochissima teoria analitica dei numeri

È strano, perché Bombieri vinse la medaglia Fields con questa roba qua, negli anni Settanta. Forse era già negli USA, però.

Comunque mi piacerebbe provare questo esercizio (non ho ancora letto la soluzione), ma non sono proprio pratico con i simboli. Che cos’è \(\Lambda\)?

[obnoxious]

È strano, perché Bombieri vinse la medaglia Fields con questa roba qua, negli anni Settanta. Forse era già negli USA, però.

In effetti ha vinto la Fields nel '74 ma se n'e' andato nel '77. Forse se fosse rimasto in Italia avrebbe potuto avere lo stesso ruolo che De Giorgi ha avuto per il CdV.

Comunque c'e' anche Languasco che fa teoria analitica dei numeri. La TdN che ho "visto" fare a Padova è più algebrica.

[3m0o]

Comunque mi piacerebbe provare questo esercizio (non ho ancora letto la soluzione), ma non sono proprio pratico con i simboli. Che cos’è \(\Lambda\)?

Hai letto solo il primo Hint o anche il secondo? Il secondo hint è molto specifico. Se vuoi pensarci da solo non leggerlo a meno che proprio non hai idee.
Comunque \( \Lambda \) è la funzione di Von Mangoldt, definita nel seguente modo
\[ \Lambda(n) = \left\{\begin{matrix}
\log p & \text{se } n=p^k \text{ per qualche primo } p \text{ e intero } k \geq 1 \\
0 & \text{altrimenti}
\end{matrix}\right. \]

[Wilde]

Solo come informazione, a Genova dovrebbe esserci Perelli che se non ricordo male fu allievo proprio di Bombieri.