Sia \(N\) un intero positivo e \( L(N) := \operatorname{lcm}(1,2,3,\ldots,N) \), il più piccolo comune multiplo di \(1,2,3,\ldots,N\). Dimostra che
\[ \lim_{N \to \infty} L(N)^{1/N} = e \]
è equivalente a dire
\[ \lim_{ N \to \infty} \frac{\pi(N)}{ \left( \frac{N}{\log(N)} \right)} = 1 \]
dove \(e \) è il numero di Eulero, \( \pi \) è la funzione enumerativa dei primi.
Hint:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Mettere in relazione \( L(N)\) con la funzione di Chebyschev, i.e. \[ \psi(N) = \sum_{n \leq N} \Lambda(n) \]
dove \( \Lambda \) è la funzione di Von Mangoldt.
dove \( \Lambda \) è la funzione di Von Mangoldt.