Un'equazione di Mordell facile e un'altra meno facile ;)

[j18eos]

Soft!
Dimostrare che l'unica soluzione a valori interi dell'equazione \(\displaystyle x^3-y^2-1=0\) è \(\displaystyle(1,0)\).

Hard!
...e che succederebbe se si considerasse "la gemella diversa" \(\displaystyle x^3-y^2+1=0\)?

Auguri per i miei 7k messaggi!

[totissimus]

Soft

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

L'equazione $x^{3}-y^{2}-1=0$ ha soluzioni reali per $x>0$

$y^{2}=x^{3}-1$

$y^{2}=(x-1)(x^{2}+x+1)$

Supponiamo che esista una soluzione intera $x>1$.

Sia $p$ un un numero primo tale che $p|x-1$ e$p|x^{2}+x+1$

$x+x+1=(x-1)^{2}+3x+1$ quindi

$p|x-1$ e $p|3x+1$ quindi

$p|3x+1-3(x-1)$

$p|4$

Dunque $p=2$ oppure $p=1$

Se $p=2$ allora $x$ è dispari e quindi anche $x^{2}+x+1$ è dispari , assurdo in
quanto $p|x^{2}+x+1$

Dunque deve essere $p=1$

$x-1$ e $x^{2}+x+1$ sono coprimi e quindi necessariamente

$x-1=u^{2}$ e $x^{2}+x+1=v^{2}$ con $u,v$ non negativi

$x+1=v^{2}-x^{2}$

$x+1=(v+x)(v-x)$

$x+1,v+x,v-x$ sono interi non negativi quindi

$x+1\geq v+x$

$1\geq v\geq0$

Non può essere $v=0$ perchè l'equazione $x^{2}+x+1=v=0$ non ha soluzioni
intere

Per $v=1$ abbiamo

$x^{2}+x+1=1$

$x(x+1)=0$ imposssibile perchè abbiamo supposto $x>1$

In conclusione l'equazione può avere soluzioni intere solo per $x=1$
e di conseguenza $y=0$

[j18eos]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

[...]Dunque deve essere $ p=1 $

$ x-1 $ e $ x^{2}+x+1 $ sono coprimi e quindi necessariamente

$ x-1=u^{2} $ e $ x^{2}+x+1=v^{2} $ con $ u,v $ non negativi[...]

Perché \(u\) e \(v\) devono essere non negativi? Mi sfugge il motivo!

...poi \(1\) non può essere un numero primo! Casomai arrivi a concludere che quei fattori devono essere coprimi.

[totissimus]

@j1820s

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$u^2=(-u)^2$

1 non è un numero primo, ma l'unico primo che divide i due fattori è solo 2, se non sono divisibli per 2
allora l'unico divisore comune è 1

[j18eos]

Ora mi trovo, e capisco cosa hai voluto esprimere.

@j1820s[...]

No comment!

[qualcuno]

Le soluzioni della hard sono sono $(-1,0),(0,-1),(0,1)$

[kilogrammo]

@qualcuno Anche a me vengono le stesse soluzioni

[j18eos]

@qualcuno & kilogrammo Mi fa piacere; ma a meno che non ve le abbia portare la cicogna (o l'avvoltoio), come "vi sono venute"?

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Spero che la battuta non abbia offesa\o nessuna\o!

[qualcuno]

@j18eos ho fatto gli stessi passaggi di totissimus, quasi un copia e incola.
Battuta simpatica

[Martino]

Sia $p$ un un numero primo tale che $p|x-1$ e$p|x^{2}+x+1$

Che dici di $p=3$? Se $x$ è congruo a $1$ modulo $3$ allora sia $x-1$ che $x^2+x+1$ sono divisibili per $3$.