7-smooth cicli creati dalle cifre dei primi

[3m0o]

Due problemi, che ritengo interessanti, ma che non sono riuscito a dimostrare o confutare sono i seguenti:
Possiamo definire una "sorta" di persistenza di un numero \(n\) nel seguente modo.

Definizione:
Sia \(n \geq 0 \) un intero, definiamo la persistenza \( k \in \mathbb{N} \) di \(n \) come il più piccolo intero tale che \( f^k(n) \neq n \) crea un ciclo.

Dalla definizione segue chiaramente che se \( n \) è un punto fisso di \(f\) allora la persistenza di \(n\) è uguale a 0. È anche vero che se \(n \) crea un ciclo allora la persistenza di \(n\) è \(0\) oppure \(1\). Ma il contrario (scusate non so come si dice in italiano converse) è falso, ad esempio \(4\) ha persistenza \(1\) ma non crea un ciclo.

Congettura 1:
L'unico ciclo con persistenza di \(1\) è quello generato da \(1\).

Per dimostrare o confutare questa congettura sarebbe sufficiente controllare tutti i \(7\)-smooth minori di \(10^{45} \), ma penso che sia molto dispendioso.

Congettura 2:
Per ogni intero \(k \geq 0 \) esiste un intero \(n \geq 0 \) di persistenza \(k\).

Per dimostrarlo credo sia sufficiente dimostrare che la funzione \( g: \mathbb{P} \to \mathcal{S}_7 \) definita da
\[ p_n \mapsto g(p_n) := f(n) \]
è una suriezione. Dove \( \mathbb{P} \) indica l'insieme dei primi e \( \mathcal{S}_7 \) l'insieme dei \(7\)-smooth. Ma dimostrare questo fatto mi sembra molto difficile.