Sia \( f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) la funzione definita nel seguente modo
\[ 0 \mapsto f(0) = 0 \]
e se \( n > 0 \) allora
\[ n \mapsto f(n) = \prod_{j=0}^{\ell} a_j \]
dove \[ p_n = \sum_{j=0}^{\ell} a_j \cdot 10^{j} \]
è l' \(n\)-esimo numero primo (inizio con \(p_1=2\)) e \( a_j \in \{0,1,\ldots,9\} \) per ogni \(0 \leq j \leq \ell \), i.e. la sua rappresentazione in base 10. Inoltre scriviamo per semplicità \( f^k = \underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{k-\text{volte}} \).
Diciamo che \(n \) crea un ciclo se esiste un intero \(k \) tale che
\[ f^k(n) = n \]
i) Verifica che \(n=0,1,2,3,5,7 \) creano dei cicli. Riuscite a trovare altri cicli con \(k > 1 \) ? (Io non sono riuscito)
ii) Dimostra che per ogni intero \(n\) allora \( f(n) \) è \(7\)-smooth, i.e. se \(p\) è un divisore primo di \(f(n)\) allora \( p \leq 7 \).
iii) Dimostra che esiste \(M > 0 \) tale che \( n \leq M \), per ogni \( n \) che crea un ciclo, i.e. ci sono un numero finito di interi positivi che creano un ciclo.
iv) Dimostra che se \(n\) non crea un ciclo, allora esistono \(k \) ed \( m \geq 0 \) tale che
\[ f^k(n) = m \]
dove \(m\) crea un ciclo.