"Spray" nello spazioEuclideo

[red3]

Tempo fa avevo parlato di "nuvole" nello spazio Euclideo.
Adesso un'altra definizione abbastanza strana: uno "spray" di centro C è un sottoinsieme di R²che ha intersezione finita con ogni circonferenza di centro C.
Dimostrare che R² non può essere ricoperto da due spray.

[hydro]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Carino! Supponiamo sia possibile. Ovviamente gli spray devono avere centri distinti, altrimenti presa una circonferenza con centro $C$ dovrebbero starci finiti punti di un insieme e finiti dell'altro, assurdo. Ora senza stare a scrivere i dettagli, è essenzialmente sufficiente provare la seguente affermazione: i punti del quadrato $[0,1]\times [0,1]$ non si possono colorare di rosso/blu in modo che ogni segmento verticale sia tutto blu al di fuori di un numero finito di punti e ogni segmento orizzontale sia tutto rosso al di fuori di un numero finito di punti. (Per vedere il perchè, fissiamo i centri $C_1$ e $C_2$ dei due spray, coloriamo i punti di uno spray di rosso e quelli dell'altro di blu e pensiamo a due circonferenze di centri $C_1$ e $C_2$ e raggi $r_1,r_2$ che si intersecano. Nella zona di intersezione vive un continuo di archi di circonferenze di centro $C_1$ e raggio $<r_1$, che vanno pensati come "segmenti orizzontali", e un continuo di archi di circonferenze di centro $C_2$ e raggio $<r_2$, che vanno pensati come "segmenti verticali").

Ora perchè questo è vero? beh supponiamo si possa trovare una colorazione siffatta di $[0,1]\times [0,1]$. Per ogni $n\in \mathbb N$ sia \(I_n=[0,1]\times \{1/n\}\). Questa è una successione infinita di segmenti ognuno dei quali è tutto rosso al di fuori di un numero finito di punti. Adesso per ogni $\varepsilon \in [0,1]$ sia $J_\varepsilon=\{\varepsilon\}\times [0,1]$. Questo è un continuo di segmenti tutti blu al di fuori di un numero finito di punti. Ne consegue che per ogni $\varepsilon$ deve esistere $N_\varepsilon$ tale che $I_n\cap J_\varepsilon$ è un insieme di punti blu per ogni $n\geq N_{\varepsilon}$. Ma siccome gli $\varepsilon$ sono un continuo, necessariamente la funzione $\varepsilon\mapsto N_\varepsilon$ ha una fibra infinita. Questo significa che esistono infiniti $\varepsilon$ che danno luogo allo stesso $N_\varepsilon$. In altre parole, esiste un $N$ tale che per infiniti $J_\varepsilon$ si ha che $J_\varepsilon\cap I_N$ è un insieme di punti blu. Ma questo è assurdo, perchè implica che $I_N$ ha infiniti punti blu.

[red3]

grazie della risposta. Devo leggerla però a fondo. Io avevo fatto in altro modo, ti farò vedere. Ho però un problema con le formule che hai scritto: mi danno questo errore:
[Math Processing Error] .Non riesco a leggere niente dopo la frase "Ora perchè questo è vero?"
Non so se è il browser, io uso chrome. Proverò con un altro.

[axpgn]

Quell'errore capita ogni tanto, con qualunque browser, quando si apre lo spoiler prima che il browser abbia finito di (s)caricare MathJax ... riprova, magari più lentamente, di sicuro torna "normale" ...

[red3]

ok. adesso si vede