Distribuire le carte e reciprocità quadratica

[3m0o]

Voglio proporvi una dimostrazione della legge di reciprocità quadratica che è una riformulazione della dimostrazione di Zolotarev in termini di distribuire delle carte da gioco su di una griglia.

Siano \(n,m \) due interi dispari, positivi e coprimi. Abbiamo un mazzo di \(nm\) carte numerate dal \( 0,\ldots,mn-1\) e vogliamo distribuirle su una griglia rettangolare \(m \times n \). Ogni posizione della griglia è numerata con delle coordinate \( (x,y) \) dove \(x \in \{0,1,\ldots,m-1 \} \) e \( y \in \{0,1,\ldots,n-1 \} \) Consideriamo i seguenti tre modi per distribuirle.

Distribuirle per riga: iniziamo andando da sinistra verso destra e poi dall'alto al basso. Quindi se avessimo \(m\) righe e \(n\) colonne avremmo che sulla prima riga, i.e. \( y=0 \), nella posizione \( (x,0) \) ci sarebbe la carta numerata con \(x \). In generale sulla riga \(y+1 \) nella posizione \( (x,y) \) ci sarebbe la carta numerata \( x+my \).

Chiamiamo questo modo di distribuire le carte \( r \).

Distribuirle per colonna: iniziamo andando dall'alto al basso e poi da sinistra verso destra. Quindi se avessimo \(m\) righe e \(n\) colonne avremmo che sulla colonna, i.e. \( x=0 \), nella posizione \( (0,x) \) ci sarebbe la carta numerata con \(y \). In generale sulla colonna \(x+1 \) nella posizione \( (x,y) \) ci sarebbe la carta numerata \( nx+y \).

Chiamiamo questo modo di distribuire le carte \( c \)

Distribuirle per diagonale: iniziando dalla posizione \((0,0) \) e procedendo diagonalmente. Se necessario prolungando la diagonale e spostarsi dal basso verso l'alto o da destra verso sinistra. Quindi con \(m \) righe ed \(n \) colonne la carta numerata con \( z \in \{0,1,\ldots, mn-1\} \) si trova in posizione \( (z \mod m, z \mod n ) \) dopo averle distribuite.

Chiamiamo questo modo di distribuire le carte \( d \)

Chiaramente una volta che abbiamo distribuito le carte possiamo prenderle dal rettangolo numerato per riformare il mazzo. Chiamiamo con \( r^{-1}, c^{-1} \) e \( d^{-1} \) i procedimenti inversi. Quindi se iniziamo con il mazzo numerato da \(0, \ldots, mn-1 \) e le distribuiamo con \( r \) e poi le prendiamo su con \( r^{-1} \) otteniamo il mazzo con stesso ordine iniziale. Chiaramente distribuire le carte in un certo modo e prenderle su, in qualunque modo in cui noi decidiamo di distribuirle e di prenderle, definisce una permutazione di \( \{0,1,\ldots, mn-1 \} \). In modo analogo prenderle su e poi distribuirle definisce una permutazione dello stesso insieme.
Definiamo dunque le permutazioni seguenti
\[ \tau = d \circ r^{-1} \]
\[ \sigma = d \circ c^{-1} \]
\[ \pi = c \circ r^{-1} \]
dove \( \tau \) è prendere le carte per riga seguito poi da un distribuirle per diagonale.

Chiaramente abbiamo
\[ \tau = \sigma \circ \pi \]

1) Dimostra che
\[ \operatorname{sgn}(\pi)= (-1)^{ (m-1)(n-1)/4} \]
2) Dimostra che \( \operatorname{sgn}(\tau) \) e \( \operatorname{sgn}(\sigma) \) sono uguali al segno delle permutazioni indotte dalla moltiplicazione per \( m \) in \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) e dalla moltiplicazione per \( n \) in \( \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \).
3) Dimostra la reciprocità quadratica, i.e. siano \(p,q \) primi dispari distinti allora
\[ \left( \frac{p}{q} \right) \left( \frac{q}{p} \right) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4} \]

[Bokonon]

Hai visto questo video?
https://youtu.be/X63MWZIN3gM

[3m0o]

Esattamente!