Beh da quello che ho capito è il modo in cui Schur riuscì a dimostrare questo teorema. Cito le note di corso
Fermat's Last Theorem states that for \(m \geq 3 \) the equation \( x^m + y^m = z^m \) has no positive integer solutions \(x,y,z \in \mathbb{N} \). For centuries, this remained one of the biggest open problems in mathematics, and one whose intriguing nature captivated many mathematicians. Among them was also Issai Schur, who investigated a natural, localized version of Fermat's Last Theorem. More precisely, he wondered whether for any \(m \geq 2 \) the congruence equation
\[ x^m + y^m \equiv z^m \mod p (1.3.2) \]
posseses non-trivial solutions for all but finitely many primes. [...]
In order to adress (1.3.2), Schur proved a theorem that is often regarded as the earliest result in Ramsey Theory: Schur's Theorem. With the help of the above theorem, Schur was able to show that, contrary to Fermat's equation, its local contuerpart does posses non-trivial solutions.
Anyway posto la dimostrazione che è leggermente differente (ma non troppo)
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Prendi \(F=S(m) \) dove \(S(m) \) è garantito dal teorema di Schur. Sia \(p \) un primo qualunque più grande di \(F\). E consideriamo l'insieme \( \mathbb{F}_p = \{ 0,\ldots,p-1\} \), naturalmente abbiamo che \( (\mathbb{F}_p,+,\cdot) \) è un campo. Sia \( \mathbb{F}_p^{\times} = \mathbb{F}_p \setminus \{ 0 \} \) e consideriamo l'insieme
\[ C:= \{ x^m : x \in \mathbb{F}_p^{\times} \} \]
Notiamo che \(C\) è un sottogruppo moltiplicativo di \( \mathbb{F}_p^{\times} \), in particolare abbiamo che \( \mathbb{F}_p^{\times} \) è può essere ricoperto con coinsiemi (cosets) di \(C\). Più precisamente abbiamo che esistono dei rappresentanti \(g_1,\ldots,g_r \in \mathbb{F}_p^{\times} \) tale che
\[ \mathbb{F}_p^{\times} = g_1 C \cup \ldots \cup g_r C \ \ \ (1.0)\]
ora poiché un polinomio a coefficienti in un campo di grado \(m\) possiede al massimo \(m\) radici abbiamo che per ogni \(y \in \mathbb{F}_p^{\times} \) l'equazione \(x^m \equiv y \mod p \) possiede al più \(m \) soluzioni poiché \(x^m -y \) ha al più \(m \) radici. Segue che \(C\) può avere al più \(m \) cosets, o in altre parole \(r \leq m \). Siccome \( p > F \) abbiamo che \( \{ 1,\ldots, F \} \subset \mathbb{F}_p^{\times} \) e quindi (1.0) è una partizione dell'insieme \( \{1,\ldots,F\} \) con \(r\) celle disgiunte. Possiamo pensare ad una partizione come ad una colorazione usando \(r\) colori. Poiché \(F=S(m)\) e \(r \leq m \) segue per il teorema di Schur che esistono monocromatici \( \tilde{x},\tilde{y}, \tilde{z} \in \{1,\ldots,F \} \) tale che \( \tilde{x}+\tilde{y} = \tilde{z} \), in altre parole appartengono al medesimo coinsieme. In particolare esiste un rappresentante \(g_i \) tale che \( \tilde{x},\tilde{y}, \tilde{z} \in g_iC \). Siano allora \(x,y,z \in \mathbb{F}_p^{\times} \) tale che
\[ \tilde{x} \equiv g_i x \mod p, \tilde{y} \equiv g_i y \mod p,\tilde{z} \equiv g_i z \mod p \]
Abbiamo allora che
\[ g_ix^m + g_i y^m \equiv g_i z^m \mod p \]
e poiché \(g_i \not\equiv 0 \mod p \) il risultato segue.
ps: penso che per locale intenda la localizzazione in \((p)\) dell'anello \( \mathbb{Z} \) che è \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \)