Algebra Lineare (non?) Infinita Dimensionale

[j18eos]

È noto da questo esercizio che una funzione \(\displaystyle f(x)\) continua su \(\displaystyle I=[0,1]\subsetneqq\mathbb{R}\) tale che:
\[
\forall n\in\mathbb{N}_{\geq0},\,\int_0^1f(x)x^ndx=0
\]
è la funzione costantemente nulla su \(\displaystyle I\).

...e se supponessi che \(\displaystyle f(x)\) è un polinomio: come si potrebbe semplificare la dimostrazione?

P.S.: come mio solito ho lasciato un indizio nel titolo!

[otta96]

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Per la linearità dell'integrale si ha che $\int_0^1f(x)p(x)dx=0AAp\inRR[x]$, quindi $\int_0^1f^2(x)dx=0$, quindi $f=0$.

[j18eos]

'mazza una dimostrazione di una riga: complimenti!

Io ne ho trovate altre due, ma lascio passare un po' di tempo: vediamo che si combina...

[j18eos]

Ecco la soluzione a cui pensavo...

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Dato che \(\displaystyle\langle f,g\rangle=\int_0^1f(t)g(t)dt\) è un prodotto scalare su \(\displaystyle C(I)\), la precedente condizione, ristretta allo spazio vettoriale dei polinomi, impone che:
\[
\forall n\in\mathbb{N}_{\geq0},\,f\in\langle1,x,\dotsc,x^n\rangle^{\perp}.
\]
Detto \(\displaystyle d\) il grado di un tale polinomio \(\displaystyle f\), risulterebbe dal punto precedente che \(\displaystyle f\) sarebbe ortogonale a sé stesso, e quindi dev'essere il polinomio nullo!

[otta96]

Praticamente è la stessa cosa che ho fatto io.