Quesito di probabilità

[walkingfridge]

Ciao a tutti,
vorrei chiarire fin da subito che non sono ne un matematico ne tantomeno qualcosa che gli si avvicini. Ho solamente intrapreso un percorso di studi tecnico (informatica) ed ogni tanto, più che altro per passione e/o curiosità, mi avventuro nella matematica.

Questa volta siamo nel ramo della statistica e probabilità.

Ecco il problema
supponiamo di avere una lotteria, tipo superenalotto, dove si devono indocinare i numeri che usciranno.
Sapere quante saranno le probabilità che un giocatore azzecchi la combinazione vincente mi è semplice.

Dove invece non sono per niente certo è: quante sono le probabilità che due o più giocatori azzecchino una delle combinazioni meno vincenti?

Faccio un esempio pratico
-Si giocano 8 numeri su un totale di 20
-Si vince azzeccandone 6, 7 e ovviamente 8.
-Abbiamo un totale di 100 giocatori
D: qual è la probabilità che 2 o più giocatori facciano, per esempio, 6?

Non parlo di probabilità che più giocatori facciano bingo, perchè significa che questi hanno giocato esattamente gli stessi numeri. Parlo invece delle combinazioni meno vincenti (quindi 6 e 7) perchè si innesca anche il meccanismo di combinazioni possibili composte da 6 numeri all'interno di una combinazione vincente di 8.

Se non è chiaro, si accettano domande

Grazie

[axpgn]

Si giocano $8$ numeri su $20$ possibili?
Ne vengono estratti $8$?

Se il giocatore gioca $8$ numeri diversi è come se giocasse $56$ sestine.
Se ci sono cento giocatori e complessivamente giocano tutte sestine diverse, ciò significa che ne giocano $5600$.
Le diverse sestine possibili con $20$ numeri sono $((20), (6))$
Le sestine estratte sono $56$

Cordialmente, Alex

[3m0o]

Probabilità che un giocatore singolo vinca è
\[p:= \mathbb{P}(\text{vincere}) = \mathbb{P}(\text{indovinarne 8}) + \mathbb{P}(\text{indovinarne 7}) + \mathbb{P}(\text{indovinarne 6}) \]
La probabilità che esattamente \(1 \leq n \leq 100 \) giocatori vincano è
\[p_n:= \mathbb{P}(n \text{ vincitori}) = \binom{100}{n} p^n (1-p)^{100-n} \]
il \(p^n \) sta lì perché tu vuoi \(n\) vincitori, e \( (1-p)^{100-n} \) sta lì perché vuoi che i restanti giocatori (quindi \(100-n\) ) perdano e pertanto \( (1-p) \). Ora non ti importa chi vince e chi perde quindi prendi tutte le possibili estrazioni di \(n\) vincitori tra i \(100\) partecipanti e questo spiega il perché di \( \binom{100}{n} \).

Chiaramente la probabilità che \(n\) o più giocatori vincano è data dalla somma delle probabilità che vincano esattamente \(n\) persone + probabilità che vincano esattamente \(n+1\) persone, etc fino a 100.
\[ \sum_{k=n}^{100} p_k = \sum_{k=n}^{100} \binom{100}{k} p^k (1-p)^{100-k} \]
e che non ho voglia di vedere se si può scrivere in una forma più semplice.

[axpgn]

Probabilità che un giocatore singolo vinca è
\[p:= \mathbb{P}(\text{vincere}) = \mathbb{P}(\text{indovinarne 8}) + \mathbb{P}(\text{indovinarne 7}) + \mathbb{P}(\text{indovinarne 6}) \]

Non sono sicuro che sia quello che l'OP ha chiesto, nel senso che ha chiesto esplicitamente la probabilità di riuscita delle combinazioni "meno vincenti" ... per il resto non ho capito niente come al solito quindi


Cordialmente, Alex

[3m0o]

D: qual è la probabilità che 2 o più giocatori facciano, per esempio, 6?

Hai ragione pensavo intendesse vincere. Comunque il mio ragionamento si applica uguale, basta che sostituisci \(p= \mathbb{P}(\text{vincere}) \) con \(p= \mathbb{P}(\text{indovinarne solamente } k) \) per \(k=6,7\) oppure \(8\).

[Bokonon]

Se il giocatore gioca $8$ numeri diversi è come se giocasse $56$ sestine.

[Bokonon]

Detta $p=(C(8,x))/(C(20,x))$ e $q=1-p$ con $x=6,7,8$ abbiamo che la probabilità che $k$ su $n$ giocatori vincano è pari a $C(n,k)p^kq^(n-k)$

[axpgn]

Non è vero?

[Bokonon]

Non è vero?

$C(8,6)=28!=56$

[axpgn]

Non era vero.

Cosa vuoi che sia una divisione per due ... quisquilie ...