Cardinalità di zeri

[umberto.vincenzo]

Sia f una funzione continua definita in R², che assume valori di segno opposto. Si dimostri che f si annulla in infiniti punti, e si trovi la cardinalità dell'insieme di questi.

[Martino]

Mi sembra che si possa fare così: detti $X=RR^2$, $f:X to RR$ continua e $Z$ l'insieme degli zeri di $f$, ovviamente $f(X-Z)$ è sconnesso (contiene numeri positivi e numeri negativi ma non contiene lo zero) quindi $X-Z$ è sconnesso (perché una funzione continua manda connessi in connessi) e quindi $Z$ è infinito. Infatti se tolgo a $X$ un numero finito di punti non perdo la connessione. Direi che si deduce anche che $Z$ è non numerabile con un po' di lavoro.

[otta96]

Dovresti scrivere i tuoi tentativi di risolvere il problema, come da regolamento, ma è il tuo primo messaggio quindi non è un problema.
Si può fare sia come suggerisce Martino riconducendolo ad un problema di un insieme che sconnette il piano, e in questo caso se avesse cardinalità minore di quella di $RR$, dati due punti del complementare, posso considerare una quantità continua di cammini da un punto all'altro che hanno come punti in comune solo quelli iniziali e finali, quindi almeno uno (in realtà $|RR|$) sarà disgiunto dall'insieme, dunque contenuto nel complementare, che quindi sarà connesso per archi.
Sennò si può direttamente considerare una tale famiglia di cammini e restringere la funzione ad ognuno di essi e, in quanto funzioni continue che assumono valori dircordi su un dominio connesso, ci sarà almeno un punto di zero in ognuno di questi archi, dunque $|f^(-1){0}|=|RR|$.

[dissonance]

Una maniera forse più semplice è osservare che, detti P e Q i punti tali che f(P) ed f(Q) hanno segno opposto, la funzione f ha almeno uno zero su ogni curva che connette P e Q. Evidentemente tali curve sono in quantità più che numerabile.

[umberto.vincenzo]

esattamente.Io avevo fatto proprio così.