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Dimostriamo che
$\sum_{i \geq 0,\ 0\leq ni \leq \frac{m(m+1)}{2}} a_{ni}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f(\zeta_n^k)$
infatti
$\sum_{k=0}^{n-1} f(\zeta_n^k)=\sum_{k=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{m(m+1)/2} a_j\zeta_n^{jk}=\sum_{j=0}^{m(m+1)/2} a_j(1+\zeta_n^{j}+\zeta_n^{2j}+ \cdots + \zeta_n^{(n-1)j})$
Se $n$ non divide $j$ allora $1+\zeta_n^{j}+\zeta_n^{2j}+ \cdots + \zeta_n^{(n-1)j}=0$ poiché $\zeta_n^{j} \ne 1$ e $(\zeta_n^{j})^n-1=0$.
Se $n|j$ allora $1+\zeta_n^{j}+\zeta_n^{2j}+ \cdots + \zeta_n^{(n-1)j}=1+1+ \cdots +1=n$
Ora dimostriamo che se $2$ non divide $d$ e $d|n$ allora $f(\zeta_d)=2^(m/d)$ e se $2$ divide $d$ allora $f(\zeta_d)=0$.
$f(\zeta_d)=(\zeta_d+1)(\zeta_d^2+1) \cdots (\zeta_d^m+1)=$
$=2^(m/d) \prod_{k=1}^{m/d} \prod_{i=1}^{kd-1}(\zeta_d^i+1)=2^{m/d} \prod_{k=1}^{m/d}(-1)^{d-1} \Phi_d(-1)$
Dove $\Phi_d(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{d-1}$ e
$\Phi_d(-1)={( 0\ se\ 2|d ),( 1\ \text{altrimenti} ):} $
Da qui si deduce che $f(\zeta_d^l)=2^{m/d}$ se $(l,d)=1$ e $2 \not | d$ inoltre si ha
$\sum_{k=0}^{n-1} f(\zeta_n^k)=\sum_{d|n}\sum_{1\leq h \leq n,\ (h,n)=d}f(\zeta_n^h)$
sia $h=dl$ segue che
$\sum_{d|n}\sum_{1 \leq l \leq \frac{n}{d}, \ (l,n/d)=1}f(\zeta_{\frac{n}{d}}^l)=\sum_{d|n,\ 2 \not | d} \psi(n/d)2^{\frac{m}{n/d}}=\sum_{d|n, 2\not | d}\psi(d)2^{m/d}$
"Chi è padrone del proprio respiro, è padrone della propria vita."~ Antico proverbio
"La capacità di scegliere è un dono che la natura fa all'uomo. Scegliere è un dono che l'uomo fa a se stesso." D.B.
"Il genio è semplicemente un uomo con la mente da donna." D. B.