1. E' facile osservare che \(f\) è un omomorfismo di monoidi \((\mathbb N,\cdot)\to (G,+)\), perché \[f1=f(1\cdot 1)=f1\cdot f1\] sicché \(f1\) è un idempotente in $G$, che siccome è un gruppo non ne ha di non banali.
2. Per la proprietà universale del gruppo di Grothendieck, \(f\) corrisponde a un omomorfismo di gruppi \[\bar f : K(\mathbb N,\cdot) \to G\] dove \(K(\mathbb N,\cdot)\) è appunto il gruppo di Grothendieck di \((\mathbb N,\cdot)\); incidentalmente, questo è il gruppo abeliano dei numeri razionali strettamente positivi, preso rispetto alla moltiplicazione, perché \(f : \mathbb N \to G\) si estende a \(\bar f : (\mathbb Q_{>0}, \cdot) \to G\) mandando \(\frac{m}{n}\) in \(fm-fn\).
3. Per ovvie ragioni di piccionaia, ogni fibra di \(\bar f\) ha cardinalità infinita (è qui che questa dimostrazione usa la commodity di essere passati ai gruppi, perché nei gruppi la cardinalità di una fibra di un omomorfismo \(\varphi\) è decisa dalla cardinalità di \(\ker \varphi\); nei monoidi questo è falso --incidentalmente, questo significa che la categoria dei monoidi non è una
varietà di Mal'cev), e questo conclude, perché l'insieme \(\{k\in\mathbb N\mid fk = f(k+1)\}\) è precisamente la fibra di \(\bar f\) sopra \(\frac{k}{k+1}\).