da dissonance » 22/06/2022, 12:08
Si, puoi scrivere il modulo come somma di una serie di funzioni che converge uniformemente, si usa in una classica dimostrazione del teorema di Stone-Weierstrass. In pratica si usa il teorema del binomio, con il trucco seguente:
\[
\lvert u\rvert = (1+u^2-1)^{1/2}=(1+v)^{1/2}, \]
dove abbiamo posto \(v=u^2-1\), e quindi
\[
\lvert u \rvert = \sum_{n=0}^\infty \binom{1/2}{n} (u^2-1)^n.\]
Questa serie converge uniformemente per \(u\in [-\sqrt 2 , \sqrt 2]\), ed è credo l'unica applicazione che io abbia mai visto del criterio di Raabe.