$q \equiv 1 \mod p$

[dan95]

Sia $p$ un numero primo dispari e $a,b$ interi positivi coprimi tali che $a != b \mod p$¹, poniamo

$K=\frac{a^p-b^p}{a-b}$

Consideriamo $q$ primo dispari tale che $q| K$, dimostrare che $q \equiv 1 \mod p$.

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Note

1. Non mi fa fare il simbolo di non congruenza: \not \equiv ↑

[hydro]

Non te lo fa fare perché devi usare /( anziché $.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Siccome $a^p\equiv b^p\mod q$ ed $a,b$ sono coprimi possiamo assumere wlog che \((a/b)^p\equiv 1 \mod q\). Segue subito che o $p$ divide $q-1$, ovvero la tesi, oppure che $a\equiv b\mod q$. Ma se vale la seconda, allora $K=pa^p\mod q$, e questo non può essere 0 modulo $q$ perché dall’ipotesi segue $p\ne q$ e se $q$ divide $a$ allora divide anche $b$, che è di nuovo vietato per ipotesi.

[dan95]

@hydro
Sì anche io l' ho risolto così. È interessante secondo me come risultato perché magari potrebbe portare ad una dimostrazione "elementare" dell'ultimo teorema di Fermat.

[hydro]

Beh non esageriamo dai, queste cose erano sicuramente note allo stesso Fermat…

[dan95]

E magari ha usato questi risultati per la misteriosa dimostrazione che "non entrava nel margine della pagina".