Sia \(A \subseteq \mathbb{N} \) un insieme tale che \( \overline{d}(A) = \lim \sup_{N \to \infty} \frac{ \left| A \cap \{ 1, \ldots,N \} \right|}{N} > 0 \), allora esistono due insiemi infiniti \(B,C \subseteq \mathbb{N} \) tale che \(B+C = \{ b+c: b \in B,c \in C\} \subseteq A \).
Per dimostrare la congettura di Erdos dimostrare che il Teorema 1 implica il Lemma 1.
Lemma 1:
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Sia \(A \subseteq \mathbb{N} \) allora \( B+C \subseteq A \) per qualche insieme infinito \( B,C \subseteq \mathbb{N} \) se e solo se esiste una successione crescente di interi positivi \((s_i)_{i \in \mathbb{N}} \) tale che
\[ 1_L(n) = \lim_{i \to \infty} 1_A(n+s_i) \]
esiste per ogni \(n \in \mathbb{N} \) e la famiglia di insiemi \( (L\cap (A-s_i))_{i\in \mathbb{N}} \) possiede la proprietà che ogni sotto famiglia finita si interseca in un insieme di cardinalità infinita.
\[ 1_L(n) = \lim_{i \to \infty} 1_A(n+s_i) \]
esiste per ogni \(n \in \mathbb{N} \) e la famiglia di insiemi \( (L\cap (A-s_i))_{i\in \mathbb{N}} \) possiede la proprietà che ogni sotto famiglia finita si interseca in un insieme di cardinalità infinita.
Teorema 1:
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Sia \(X\) uno spazio metrico compatto e \(T: X \to X \) una mappa continua. Supponiamo che \(x \in X \) sia generico lungo una successione \( (I_k)_{k \in \mathbb{N}} \) di intervalli la cui lunghezza tende all'infinito per una misura di probabilità di Borel \( \mu \) e assumi inoltre che \( (X,\mathcal{B},\mu,T) \) sia un sistema ergodico con autofunzioni continue. Allora per ogni insieme aperto e chiuso \(E \subseteq X \) con \( \mu(E)>0\) esiste un punto \(y \in X \) e una successione \( s_1 < s_2 < \ldots \in \mathbb{N} \) e una misura di probabilità di Borel \( \lambda \) su \( X \times X \) tale che
1) \( T^{s_i} x \to y \) quando \( i \to \infty \)
2) \( (x,y) \) è generico per \( \lambda \) lungo una sottosuccessione di \((I_k)_{k \in \mathbb{N}} \)
3) Per ogni \(k \in \mathbb{N} \) abbiamo che \( \lambda \left( ( T^{-s_1} E \cap \ldots \cap T^{-s_k} E ) \times E \right) > 0 \).
1) \( T^{s_i} x \to y \) quando \( i \to \infty \)
2) \( (x,y) \) è generico per \( \lambda \) lungo una sottosuccessione di \((I_k)_{k \in \mathbb{N}} \)
3) Per ogni \(k \in \mathbb{N} \) abbiamo che \( \lambda \left( ( T^{-s_1} E \cap \ldots \cap T^{-s_k} E ) \times E \right) > 0 \).
NB: Per ogni \( A \subseteq \mathbb{N} \) esiste un sistema \((X,\mathcal{B},\mu,T)\) che soddisfa le ipotesi del Teorema 1 e un insieme aperto-chiuso \( E \) con \( \mu(E) = \overline{d}(A) \) grazie al principio di corrispondenza di Furstenberg https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=54&t=220605
Per chi volesse può provare a dimostrare anche il Lemma 1 e il Teorema 1.
