Sulla congettura di Catalan: numeri $q$-primari

[dan95]

Sia $\zeta_p$ una radice primitiva $p$-esima dell'unità.

Diremo che $\alpha \in \mathbb{Z}[\zeta_p]$ è $q$-primario, con $q$ primo dispari, se esiste $\beta \in \mathbb{Z}[\zeta_p]$ tale che $\alpha \equiv \beta^q \mod p^2$.

Ora siano $C$ e $C_q$ rispettivamente il gruppo delle unità ciclotomiche e il gruppo delle unità ciclotomiche $q$-primarie di $\mathbb{Q}(\zeta_p)$.


Mostrare che se $p>q$ allora $C \ne C_q$.

Questo teorema è di fondamentale importanza per la dimostrazione della Congettura di Catalan (Teorema di Mihaiescu), infatti se esistessero soluzioni intere positive $a,b$ dell'equazione

$$a^p-b^q=1$$

con $p,q$ primi dispari, allora si può dimostrare (sotto opportune ipotesi) che $C=C_q$.

[Stickelberger]

Sei sicuro?

Se $q<p$ e' un primo che non divide $p-1$, allora $q$ non divide $\#(ZZ[\zeta_p]//(p^2))^{\times}$
e ogni elemento e' $q$-esima potenza. E quindi $C=C_q$.

Forse vuoi che $\alpha\equiv\beta^q$ mod $q^2$ nella definizione di $q$-primarita'?