Allora, dopo aver creato confusione la tolgo:
3m0o ha scritto:Tra l'altro mi sono appena reso conto che la dimostrazione che ho trovato dimostra solo che
\[ \sum_{n \in P} \frac{1}{n \log n} < \infty \]
... Il risultato che ho proposto di dimostrare rimane comunque vero ma credo sia più difficile da ottenere.
Da
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
"Note on sequences of integers no one of which is divisible by any other" di Paul Erdös, pubblicato nel aprile del 1935 in Journal of London Math Soc.
Theorem: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n \log a_n} \) converges.
More generally, we show that if \(p_n\) denotes the greatest prime factor of \(a_n\), then
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n} \prod_{p \leq p_n} \left( 1 - \frac{1}{p} \right) \leq 1 \ \ \ \ (1) \]
where the product refers to the primes not greater than \(p_n\). It follows that
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n \log a_n} < c \]
where \(c\) is a constant independent of the sequence, since
\[ \prod_{p \leq p_n} \left(1- \frac{1}{p} \right) > \frac{c}{\log p_n} \geq \frac{c}{\log a_n}. \]
For suppose that (1) is not true; then, for some integer N,
\[ \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{a_n} \prod_{p \leq p_n} \left( 1 - \frac{1}{p} \right) > 1.\]
[...]
Mentre per quanto riguarda
dissonance ha scritto:3m0o ha scritto:@dan95
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Solo nel febbraio del 2022 hanno dimostrato che
\[ \sum_{n \in P} \frac{1}{n \log n} \leq \sum_{p \text{ primo}} \frac{1}{p \log p} \]
però è stata una congettura aperta per 70 anni o più
Posta per favore la referenza completa a questo risultato, grazie.
Ma è complicata la prova, guarda il teorema 1.2 in
https://arxiv.org/abs/2202.02384