Insiemi primitivi II

[3m0o]

Un insieme \(P \subseteq \mathbb{N} \) è detto primitivo se per ogni \(n,m \in P \) tale che \(n/m \in \mathbb{N} \) allora risulta che \(n=m \).

Dimostra che esiste una costante \(c>0 \) tale che per ogni insieme \(P \) primitivo risulta che
\[ \sum_{n \in P} \frac{1}{n \log n } \leq c \]

NB: ovviamente escludiamo \(P = \{ 1 \} \).

[ghira]

NB: ovviamente escludiamo \(P = \{ 1 \} \).

$1 \in P$ non sembra nemmeno possibile, direi.

[3m0o]

\( 1 \in P \) non è possibile a meno che \(P=\{1\} \).

[ghira]

\( 1 \in P \) non è possibile a meno che \(P=\{1\} \).

Intendo che la somma non funziona se $1 \in P$.

[dan95]

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La mia idea sarebbe quella di trovare $P$ che massimizza la somma

$$\sum_{n \in P} \frac{1}{n\log(n)}$$

e questo intuitivamente accade con l'insieme dei numeri primi
perché per ogni $n$ composto risulta

$$\frac{1}{n\log(n)} < \sum_{p|n, p\ \text{primo}} \frac{1}{p\log p}$$

Ma noi sappiamo che

$$\sum_{p} \frac{1}{p\log(p)}$$

converge.

[3m0o]

@dan95

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Quello che dici è vero però buona fortuna a dimostrarlo

Solo nel febbraio del 2022 hanno dimostrato che
\[ \sum_{n \in P} \frac{1}{n \log n} \leq \sum_{p \text{ primo}} \frac{1}{p \log p} \]
però è stata una congettura aperta per 70 anni o più, c'è un modo senza esplicitare \(c\). Se riesci a dimostrare la tua idea in modo indipendente chapeau!!

[otta96]

Anche io avevo pensato più o meno a quella cosa @dan95, però non sapevo nemmeno se convergeva.

[dan95]

@dan95

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Quello che dici è vero però buona fortuna a dimostrarlo

Solo nel febbraio del 2022 hanno dimostrato che
\[ \sum_{n \in P} \frac{1}{n \log n} \leq \sum_{p \text{ primo}} \frac{1}{p \log p} \]
però è stata una congettura aperta per 70 anni o più, c'è un modo senza esplicitare \(c\). Se riesci a dimostrare la tua idea in modo indipendente chapeau!!

Eh oddio forse un mezza idea ce l' ho ma se dici che non serve adesso provo a trovare un'altra strada...

Ecco la mia mezza idea:

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Costruisco $P$ nel seguente modo:

- scelgo $n_1 \in \mathbb{N}-{1}$

- considero gli insiemi $D_1={d | n_1, d< n_1}$ e $M_1={kn_1, k\geq 2}$

- Definisco $P_1=\mathbb{N}-D_1 uu M_1$

In generale

Scelgo $n_i \in P_{i-1}$

$D_i={d | n_i, d< n_i}-uu_{j<i} D_j nn {d| n_i, d< n_i}$

$M_i={kn_i, k \geq 2 }-uu_{j<i} M_j nn {kn_i, k \geq 2}$

$P_i=\mathbb{N}-uu_{j\leq i} M_j uu D_j$

Continuo il procedimento fino a quando

$P=uu_{i=1}^{infty} P_i$

non è primitivo.

Ora mi viene da pensare che se scelgo solo numeri primi levo "meno roba" da $\mathbb{N}$.

[3m0o]

Intendo che la somma non funziona se $1 \in P$.

Non avevo visto, comunque se \(P\) è primitivo e \(P \neq \{1\} \) allora \(1 \not\in P \) per definizione

[3m0o]

Tra l'altro mi sono appena reso conto che la dimostrazione che ho trovato dimostra solo che
\[ \sum_{n \in P} \frac{1}{n \log n} < \infty \]
... Il risultato che ho proposto di dimostrare rimane comunque vero ma credo sia più difficile da ottenere.