Un'estensione della costante di Mills utilizzando la successione di Fibonacci

[Luknik02]

Ciao a tutti, da poco mi imbattuto in un recente lavoro di K. Matomäki. dal titolo "Prime representing functions" reperibile al link https://link.springer.com/article/10.1007/s10474-010-9191-x. In particolare in questo lavoro l'autore afferma che assumendo vera l'ipotesi di Riemann, allora se \(\displaystyle c_i \geq \frac{1+\sqrt5}{2}=\phi\mbox{ }\forall i\in\mathbf{N} \) allora esiste una costante reale\(\displaystyle \alpha \)tale che:

\(\displaystyle \lfloor \alpha^{C_n}\rfloor \mbox{ è un numero primo per ogni numero naturale $n$}\).

(Qui \(\displaystyle C_n = \prod_{i=1}^{n}c_i \) e \(\displaystyle \lfloor x \rfloor \) è la parte intera di x).

Senza assumere R.H. allora è sufficiente che \(\displaystyle c_i \geq 2\forall i\in\mathbf{N} \).
Alla luce di ciò, mi è venuta un'idea per un possibile corollario; in particolare "credo" di aver dimostrato che esiste una costante \(\displaystyle \beta \) tale che:

\(\displaystyle \lfloor \beta^{F_{2n+1}}\rfloor\mbox{ è un numero primo $\forall n\geq 1$} \). Dove \(\displaystyle F_n\) è l'n-esimo numero di Fibonacci .

Infatti, si consideri la seguente successione:
\(\displaystyle c_1 = F_3 = 2 \)
\(\displaystyle

c_i = \frac{F_{2i}}{F_{2i-1}}+1 \mbox{ $\forall i>1$} \).

Si noti prima di tutto che la successione è monotona crescente e che \(\displaystyle \lim_{i->\infty} c_i = 1+\phi \approx 2.618 \).

Dunque \(\displaystyle c_i \geq 2 \forall i\in\mathbf{N} \) come richiesto.

Inoltre:
\(\displaystyle C_2 = c_1c_2 = F_3(\frac{F_4}{F_3}+1) = F_4+F_3 = F_5 \)
\(\displaystyle
C_3 = c_1c_2c_3 = F_5(\frac{F_6}{F_5}+1) = F_6+F_5 = F_7 \)
\(\displaystyle \vdots \)
\(\displaystyle C_n = c_1\cdots c_n = F_{2n+1} \)

E dunque possiamo concludere che \(\displaystyle \exists\beta\in\mathbf{R} \) tale che:

\(\displaystyle \lfloor \beta^{C_n} \rfloor = \lfloor \beta^{F_{2n+1}} \rfloor \) è un numero primo per ogni \(\displaystyle n\geq 1 \)

Vorrei domandarvi se ha senso il ragionamento, ed inoltre sono abbastanza convinto che esiste una costante reale \(\displaystyle \gamma \) tale che:
\(\displaystyle
\lfloor \gamma^{F_n}\rfloor \) è un numero primo per ogni naturale n. Inoltre, \(\displaystyle \gamma\approx2.361452025 \).

PRO E CONTRO
Come per la costante di Mills, è difficile riuscire a calcolare con precisione tali costanti, però è interessante avere un generatore di primi strettamente legato ai numeri di fibonacci.

PS:
ho creato un thread anche su MSE al link: https://math.stackexchange.com/questions/4510400/extension-of-the-mills-constant-involving-fibonacci-sequence-is-my-idea-correc?noredirect=1#comment9472243_4510400. Buona giornata e grazie in anticipo.

[dan95]

Corollario molto carino

[Luknik02]

Grazie! Si.. essenzialmente una "prime generating constant" ottenuta utilizzando la celeberrima successione di Fibonacci!