Beccatevi questi...

[karl]

Le coppie che vanno bene ,come ho dimostrato,sono solo quelle
a differenza 0 ( cioe' uguali) e in tal caso n puo',essere qualsiasi.
Oppure quelli a differenza 2 e quindi 1 e 4 non vanno bene .Del resto
per sincerarsene basta fare i calcoli.
Quanto al libro di geometria ,se si deve cominciare da capo, basta un testo di
geometria di liceo.Tutto sommato la geometria che si studia oggi nelle scuole non e'
tanto diversa da quella tradizionale.In seguito uno si puo' rinforzare andando su siti
specializzati come oliforum,dove si sale spesso ad altezze vertiginose...
I termini centroide e circoraggio,che io sappia,sono di derivazione anglosassone.Essi possono
benissimo essere sostituiti con baricentro e raggio del cerchio circoscritto al triangolo.
karl

[luluemicia]

Ciao Karl,
scusa, per curiosità, quale n ritieni che sia tale che $4^n+1$ sia divisibile per $4^(n-1)+1$ ?

[karl]

@luluemicia
Secondo i miei calcoli non c'e' nessun n che abbia la proprieta' richiesta dal quesito perche' 4-1=3>2
Ma forse sbaglio e tu ne hai trovato qualcuno.Se così fosse avrei dimostrato la cosa solo per b-a=2
e per b=a.E saremmo punto e a capo.Fammi sapere.
Saluti.
karl

[luluemicia]

Ciao Karl, forse l'esempio dell' 1 e del 4 non mi ha permesso di spiegarmi bene. Riferiamoci allora ai numeri 1 e 5; ovviamente n=1 è soluzione. Il problema è che a me risulta l'unica soluzione. Dunque, non mi sembra che n=1 sia unica soluzione solo quando a-b=0 oppure a-b=2.
Fammi sapere se ti trovi.
PS: non ti fidare del mio controllo sui numeri 1 e 5, fai anche tu i conti perchè io sono un'analista che fa applicazioni in economia e che da parecchio (proprio tanto) non ha a che fare con l'algebra e la teoria dei numeri.

[karl]

@luluemicia
Hai perfettamente ragione !!! Vanno bene non solo 1 e 5 ma anche tutte le coppie
del tipo (1,2k+1) con k intero .Infatti per n=1 si ha:
$(1^1+(2k+1)^1)/(1^0+(2k+1)^0)=(2k+2)/2=k+1$
La mia soluzione non comprende quindi tutte le possibili coppie e siamo
di nuovo al punto di partenza ...o quasi!
Vediamo se ci si mette qualche altro.
Ti auguro buona domenica.
karl

[luluemicia]

Ciao Karl,
in effetti tutte e sole le coppie che soddisfano: $(a^(n-1)+b^(n-1))$ è un divisore di $(a^n+b^n)$ per n=1 sono quelle in cui $a+b$ è pari (basta leggere la relazione dopo aver sostituito n con 1). Il problema è: fra queste, quali sono quelle che non lo verificano per altri valori di n? Chiamo, per comodità, d'ora in avanti A tale sottoinsieme delle coppie di interi la cui somma è pari. Tu hai già dimostrato che quelle che hanno le coordinate la cui differenza, in modulo, è 2 stanno in A (e, anche , che quelle aventi coordinate uguali non stanno in A in quanto "lo verificano" per tutti i valori di n; non stanno in A, a differenza di quello che abbiamo detto in qualche post precedente). Rimane da capire quali eventuali altre coppie stanno in A. Può darsi che arrivi qualche altro che ci chiude la questione......

[TomSawyer]

Siano $d=\gcd(a,b), x=a/d,y=b/d$. Allora si ha $\gcd(x^{n-1}+y^{n-1},x^n+y^n) \in {1,2}$. Quindi da $a^{n-1}+b^{n-1}|a^n+b^n$ si deduce che $x^{n-1}+y^{n-1}|2d$ e tutte le soluzioni $(a,b,n)$ sono $(xd,yd,n)$ con $x^{n-1}+y^{n-1}|2d$.

[G.D.]

Domanda da IGNORANTONE: ma il settore della matematica che studia i giochini come quello usato da TomeSawyer nel suo ultimo post, è l'artimetica modulare?

[Steven]

Domanda da IGNORANTONE: ma il settore della matematica che studia i giochini come quello usato da TomeSawyer nel suo ultimo post, è l'artimetica modulare?

Mmm, direi di no. Non ha tirato in ballo i moduli.
Direi che è semplicemente TDN.

[TomSawyer]

Aggiungerei TdN molto elementare, che e' anche cio' che la rende bella..