Interi non ovvi a partire da polinomi di grado 2

[Martino]

Mi stavo chiedendo questo: siano $b,c$ due interi e sia $P(X)=X^2+bX+c$. Supponiamo che questo polinomio abbia due radici distinte, $alpha,beta$. E' vero che il numero reale

$(alpha^n-beta^n)/(alpha-beta)$

è un numero intero per ogni naturale $n$?

Si riesce a dimostrare senza usare la teoria di Galois?

[Martino]

Mi sono accorto che è molto più semplice di quanto pensassi, siccome $alpha^2 = -b alpha - c$ e $beta^2 = -b beta -c$ abbiamo

$alpha^(n+1)-beta^(n+1) = (-b alpha -c) alpha^(n-1)-(-b beta-c) beta^(n-1) = -b(alpha^n-beta^n)-c(alpha^(n-1)-beta^(n-1))$

e quindi definito $f(n)=(alpha^n-beta^n)/(alpha-beta)$ abbiamo

$f(n+1) = -b f(n)-c f(n-1)$,

quindi ogni $f(n)$ è intero per induzione.

[dissonance]

Una osservazione simpatica. Ma come si dimostra questo usando Galois? Riusciresti a spiegarlo a un profano come me?

[Martino]

Sì, in realtà una parte è facile, l'altra è meno ovvia. Chiamando $gamma = (alpha^n-beta^n)/(alpha-beta)$, scambiare $alpha$ e $beta$ non ha nessun effetto su $gamma$, e la teoria di Galois di base implica immediatamente che $gamma$ è un numero razionale (cioè sta nel campo dei coefficienti del polinomio dato - se i coefficienti fossero reali, potremmo solo dire che $gamma in RR$).

Esplicitamente, se $P(X)$ è irriducibile in $K[X]$ (con $K$ campo di caratteristica zero, diciamo) e $M$ è un campo di spezzamento di $P(X)$ su $K$ (cioè generato da $K$ e dalle radici di $P(X)$ in qualche estensione) e $G$ è il gruppo degli automorfismi di $M$ che fissano ogni elemento di $K$ (il gruppo di Galois del polinomio) allora un elemento di $M$ appartiene a $K$ se e solo se è fissato da tutti gli elementi di $G$. Inoltre qualsiasi elemento di $G$ manda radici di $P(X)$ in radici di $P(X)$, cioè permuta le radici. Questo appunto si applica al caso di cui sopra.

Per dedurre che è intero bisogna osservare che $gamma = alpha^(n-1)+alpha^(n-2)beta+...+alpha beta^(n-2)+beta^(n-1)$ è un intero algebrico, cioè è radice di un polinomio monico a coefficienti interi. Questo è perché $alpha$, $beta$ sono ovviamente interi algebrici (per definizione) e somme e prodotti di interi algebrici sono interi algebrici, cioè gli interi algebrici formano un anello (cosa non ovvia).

Per finire, se un intero algebrico è razionale allora è intero (cosa non difficile).

Per lo stesso motivo anche $alpha^n+beta^n$ è sempre intero, come anche $(alpha^n+beta^n)/(alpha+beta)$.

Quindi per esempio se $r_1,r_2,...,r_k$ sono tutte le radici di un polinomio $P(X)$ monico a coefficienti interi allora $r_1^n+r_2^n+...+r_k^n$ è un intero per ogni $n$, così come qualsiasi espressione invariante per qualsiasi permutazione delle radici e ottenuta a partire da esse tramite somme e prodotti (non divisioni).

Poi stavo guardando quel caso specifico perché $(alpha^n-beta^n)/(alpha-beta)$ sono esattamente i numeri di Fibonacci quando $P(X)=X^2-X-1$.

[dissonance]

Credo di avere capito. Interessante. Questo metodo con Galois è più complicato, ma è anche più robusto.

Il ragionamento per induzione che hai fatto in un post precedente funziona per \(\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}\) ma già per \(r_1^n+\ldots+r_k^n\) (ad esempio), non mi pare fattibile.