$x^x$

[axpgn]

La derivata $n$-sima di $x^x$, valutata nel punto $x=1$, è un intero.
Ma non solo, sembra anche essere un multiplo di $n$.
(Es. $1 xx 1, 2 xx 1, 3 xx 1, 4 xx 2, 5 xx 2, ...$)
Sempre?


Cordialmente, Alex

[Palliit]

Sì.

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...cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet.

[axpgn]

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Non l'avevo mai letta in Latino

Comunque faccio presente che non stai scrivendo sul margine

Cordialmente, Alex

[Palliit]

Comunque no, l'ho guardato un po' ma non sono arrivato a capo di niente, mi faceva solo ridere la citazione

[dissonance]

Comunque no, l'ho guardato un po' ma non sono arrivato a capo di niente, mi faceva solo ridere la citazione

E allora come fai a rispondere di si? hai tirato ad indovinare eh

[dissonance]

Guardate qua che cosa ho trovato!

https://oeis.org/A005727

E' esattamente la successione descritta da Alex.

[axpgn]

Sì ma a loro (OEIS) l'hanno detto questi qui
Peraltro chi ha lo ha dimostrato, lì non è neanche citato o quantomeno io non l'ho visto ...

[dissonance]

Ci sono molte citazioni, se le segui trovi varie dimostrazioni. Quella è una enciclopedia di valori numerici, le dimostrazioni sono solo citate. Comunque avevi ragione, erano tutti interi. Che cosa strana

[axpgn]

Non ci sono dimostrazioni in quelle citazioni; peraltro la sequenza a cui mi riferivo principalmente è l'altra (A5168) ovvero quella in cui si mostra che oltre a essere interi sono sempre multipli di $n$, il che è ancor più sorprendente
L'unico riferimento (ma non la dimostrazione) era quello che già conoscevo, precisamente è il paper di Richard Guy dal titolo "The Strong Law of Small Numbers" (pubblicato su Amer.Math.Monthly 1998-8), in cui un po' nascosto si trova questo:
"If $y=x^x$ and $y_n(1)$ denotes the value of $(d^ny)/(dx^n)$ at $x=1$, then $y_(n+1)(1)=y_(n)(1)+((n),(1))y_(n-1)(1)-((n),(2))y_(n-2)(1)+2!((n),(3))y_(n-3)(1)-3!((n),(4))y_(n-3)(1)+-+...+(-1)^n(n-1)!$.
This was not known to be a multiple of $n+1$ when it was submitted to the Unsolved Problems section of this MONTHLY by Richard Patterson & Gaurar Suri.
But in an 87-05-28 letter, Herb Wilf gives a proof, using the generating function for Stirling numbers of the first kind. His proof in fact shows that $n(n-1)$ divides $y_n(1)$ just if $n-1$ divides $(n-2)!$, which it does for $n>=7$, provided that $n-1$ is not prime"

[dan95]

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Se scriviamo $x^x=e^{x\ln(x)}$ con $x>0$, le derivate possono essere scritte in modo ricorsivo e quindi procedere per induzione. Credo ...