Un integrale triplo

[dan95]

Calcolare l'integrale triplo

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \{\frac{x}{y}\} \{\frac{y}{z}\} \{\frac{z}{x}\} dx dy dz$

Dove ${\cdot }$ indica la parte frazionaria.

[ingres]

1/8 ?

[dan95]

No

[ingres]

Ho provato a percorrere la strada di sostituire alla parte frazionaria la differenza tra il valore e la sua parte intera.
Questa strada conduce ad alcune interessanti semplificazioni, ma non mi sembra comunque che permetta di arrivare a una soluzione.
Suggerimento?

[dan95]

Non ho la soluzione... È un integrale abbastanza tosto ...

[dan95]

Non ho la soluzione... È un integrale abbastanza tosto ...

So solo che fa

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$1+\pi^2\frac{2\zeta(3)-9}{72} ~~ 0.09585$

[ingres]

Pienamente d'accordo e da come è scritta la soluzione mi aspetto che non sia facile trovare la strada giusta per affrontarlo.
Va bene, vedo lo stesso se riesco ad ottenere qualche risultato apprezzabile.

[Quinzio]

Come spunto per altre idee (che non ho) si potrebbe iniziare con l'integrale piu' semplice in due dimensioni:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$\int_0^1 \int_0^1 {x/y}\ dx\ dy = $

$\int_0^1 \int_x^{1} x/y\ dy\ dx + \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^1 \int_{x/(n+1)}^{x/n} (x/y -n)\ dy\ dx$

[Quinzio]

Come spunto per altre idee (che non ho) si potrebbe iniziare con l'integrale piu' semplice in due dimensioni:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$\int_0^1 \int_0^1 {x/y}\ dx\ dy = $

$\int_0^1 \int_x^{1} x/y\ dy\ dx + \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^1 \int_{x/(n+1)}^{x/n} (x/y -n)\ dy\ dx$

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

In questo integrale 2D si nota che ci sono 2 addendi: quello di sinistra corrisponde ad un'area in cui $x<y$ e quindi $x/y = {x/y}$ e quindi non c'e' bisogno della sommatoria.
Per l'altro addendo invece l'integrale va discretizzato usando la sommatoria.
Ci si potrebbe chiedere se esiste l'analogo in 3D, ovvero che ci sia un'area in cui non ci sia bisogno della discretizzazione.
In realta' quest'area non c'e' perche' se mettiamo i vincoli $x<y, y<z, z<x$, ci si ritrova nella contraddizione $x<y<z<x$.
Questo semplice concetto lo si ritrova anche qui:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 7&t=224907
grazie ad Alex
Se si considerano le 3 coppie di coordinate, e per ogni coordinata si considera l'opzione $>1$ oppure $<1$ (e quindi se c'e' bisogno della discretizzazione), ci si ritrova con $2^3 = 8$ combinazioni.
Come abbiamo visto, 2 di queste non sono realizzabili, ovvero:
$x<y<z<x$ e
$x>y>z>x$
e quindi si rimane con 6 combinazioni.
Le 6 combinazioni rimaste sono (e' bene esplicitarle):
$x>y>z$
$y>z>x$
$z>x>y$

$x<y<z$
$y<z<x$
$z<x<y$

La cosa positiva di tutto questo e' che sembra che non ci sia bisogno di un integrale con un tripla discretizzazione, ovvero una discretizzazione per ogni asse, che avrebbe condotto ad una sommatoria tripla, che forse non sarebbe neanche risolvibile.
Sembra che non ci sia bisogno di questo, ma ci si limita ad una sommatoria doppia, che, anche se non e' certamente semplice, si puo' sperare di risolverla.
Addirittura 3 di quelle combinazioni hanno bisogno solo della discretizzazione singola e pertanto si possono ricondurre (forse) all'integrale 2D gia' scritto.
Quelle che hanno bisogno della doppia discretizzazione sono le prime 3 combinazioni:
$x>y>z$
$y>z>x$
$z>x>y$

[ingres]

Sicuramente non facile ma sembra promettente
Grazie Quinzio, spunto veramente notevole!