$x^{\frac{2}{2}}$

[LucianoD]

In un altro sito si è posto il quesito
$x^{\frac{2}{2}}=x$ oppure $x^{\frac{2}{2}}=|x|$ ?
Le risposte che ho letto non mi hanno convinto e credo che qui ci sia chi può dare un parere più autorevole.

[3m0o]

Su \( \mathbb{R} \) è vero che \(x^{2/2}=x^1 = x \), così come è vero che \(\sqrt{x^2} = \left| x \right| \) ma se \(x >0 \) allora \(x^{2/2}= x^1 = x = \left| x \right|= \sqrt{x^2} \). Questo perché in generale hai che \( x^{a/b} \neq \sqrt[b]{x^{a}} \). Infatti \(x^{a/b} \) è definito come \( x^{a/b} := \sqrt[b]{x^a} \) solo quando \( \operatorname{gcd}(a,b)=1\), \(b \neq 0 \), e inoltre se \(b\) è pari allora è definito solo quando \(x \geq 0 \). Mentre se \(b \) dispari per qualsiasi \(x\) (eccetto in zero se \(a< 0 \)).

[LucianoD]

Su $\mathbb{R}$ è vero che $x^{2/2}=x^1 = x$

Questa è già una risposta che mi rincuora, dato che dall'altra parte la cosa viene negata categoricamente.
Io, da non-matematico, considero fondamentale l'ordine delle operazioni, pertanto "prima la riduzione", poi la potenza, giungendo allo stesso risultato.
Questo agire (che poi è il concetto del \( \operatorname{gcd}(a,b)=1 \)) viene da qualcuno definito in modo dispregiativo "americanata", con tanto di filippica e conclusione che gli americani dovrebbero astenersi dal fare matematica (mah...).

Perfettamente d'accordo poi su

\( \sqrt{x^2} = \left| x \right| \)
\( x^{a/b} \neq \sqrt[b]{x^{a}} \)

Cosa che invece c'è chi non vede.

Viene poi affermato che in $\mathbb{R}$, $-1^{\frac{2}{2}}$ non si può scrivere, mentre a mio parere è più che lecito e ha risultato $-1$. Vale sempre il concetto dell'ordine delle operazioni.

Altri si arrampicano sui concetti di "dominio" ed "estensione del dominio", quando invece a mio parere è una pura questione di formalismo di scrittura delle equazioni.

Vorrei spingermi ancora oltre e chiedere se (sempre in $\mathbb{R}$)
$-1^{\sin(\pi)}=-1$
faccia inorridire qualcuno o venga ritenuto equivalentemente corretto.

[axpgn]

Premesso che ci sono infinite discussioni al riguardo, io sarei più drastico di 3m0o
Ovvero quando l'esponente non è intero, la base deve essere non negativa, come peraltro leggo un po' dappertutto.
IHMO.

Cordialmente, Alex

[LucianoD]

... quando l'esponente non è intero...

Allora la domanda si sposta su un piano parallelo:

$frac{2}{2}$ è intero?

$sin(pi)$ è intero?

Per me lo sono entrambi...

[axpgn]

Certo che no

Battute a parte, per esempio hai che $2/2=3/3$ e questo è ambiguo, non so se mi spiego ...
Il fatto di definire la base non negativa per esponenti non interi taglia la testa al toro ed elimina ambiguità; questo è il motivo principale per cui si adotta, quasi ovunque, questa convenzione; poi, ognuno può usare quella che vuole, basta capirsi

[LucianoD]

Certo che no

E perché no?

Per me, $x$ è intero se $x\in \mathbb{Z}$.
Non vedo proprio come si possa affermare che $frac{2}{2}\notin \mathbb{Z}$.
$frac{2}{2}$ è un numero, e questo numero è un intero.
Stesso discorso per $sin(pi)$. Non è che se ottengo lo stesso numero con operazioni diverse, quel numero acquisti o perda caratteristiche proprie di quel numero...

E per ricollegarmi a quanto detto prima, se $a\in \mathbb{R}$ e $a\ne 0$, allora $frac{a}{a}\in \mathbb{N}$ ed è quindi lecito scrivere $-1^{frac{a}{a}}=-1$

No?

[axpgn]

Al di là del fatto se $2/2$ sia un intero o meno (no, non lo è, è un numero razionale, così come $sin(pi)$ è un numero reale), il punto è un altro ovvero una definizione non deve essere ambigua.
Per esempio come dicevo prima se si ammette che una base negativa abbia esponente $2/2$ nasce l'ambiguità sull'ordine delle operazioni da fare e a seconda della scelta fatta possiamo avere una operazione valida oppure no e questo non deve succedere. Non deve nemmeno succedere che a seconda della rappresentazione scelta per l'esponente (es. $2/2$ piuttosto $3/3$) un'operazione sia valida oppure no.
Inoltre c'è differenza tra l'operazione di estrazione di una radice e l'esponenziazione razionale, sottile ma c'è: quando usi l'operatore radice (per esempio $sqrt(7), sqrt(a), sqrt(a^2)$) applichi questa operazione ad un numero che si chiama "radicando" che è quella "cosa" che sta sotto il simbolo di radice ovvero in questi tre esempi i radicandi sono $7, a, a^2$, quindi non è vero che $sqrt(a^2)=a^(2/2)$ (non è vero che sono esattamente equivalenti) perché nel primo caso stai calcolando la radice quadrata di $a^2$, nel secondo caso stai elevando all'esponente razionale il numero $a$; nel primo caso non hai problemi, nel secondo sì
Comunque, come dicevo, puoi usare le definizioni che vuoi (e inventarle pure), basta essere chiari quando si comunica con qualcun altro che non usa le tue stesse definizioni.
IHMO.

Cordialmente, Alex

[3m0o]

Al di là del fatto se $ 2/2 $ sia un intero o meno (no, non lo è, è un numero razionale, così come $ sin(pi) $ è un numero reale)

Si, ma no

Se \( x \geq 0 \) non c'è nessun problema puoi fare quello che vuoi perché la potenza su \( \mathbb{Q} \) è ben definita!

Se invece \( x < 0 \) la potenza non è un operazione ben definita, i.e. dipende dal rappresentate scelto!

Se prendi \( \mathbb{Q} = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^{\ast}/ \sim \) dove \( (a,b) \sim (a',b') \) se e solo se \(ab'=a'b\). Ora \( \mathbb{Q} \) contiene \( \mathbb{Z} \) via l'inclusione naturale \( i : \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q} \) dove \( n \mapsto \frac{n}{1} \) per ogni \(n \in \mathbb{Z} \). Inoltre \( 0_{\mathbb{Q}} = \frac{ 0_{\mathbb{Z}} }{ 1_{\mathbb{Z}} } = \frac{ 0_{\mathbb{Z}} }{ b } \) per ogni \(b \in \mathbb{Z}^{\ast} \) e \( 1_{\mathbb{Q}} = \frac{ 1_{\mathbb{Z}} }{ 1_{\mathbb{Z}} } = \frac{ b }{ b } \) per ogni \(b \in \mathbb{Z}^{\ast} \). Identificando \( \mathbb{Z} \) con \( i \left( \mathbb{Z} \right) \) hai che \( \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \).


Se hai un operazione \( f \) definita su \( \mathbb{Z} \) che vuoi estendere ad un operazione \( \overline{f} \) definita su \( \mathbb{Q} \), hai per definizione \( \overline{f}(n) := f(n) \) per ogni \( n \in \mathbb{Z} \), o se vogliamo essere precisi \( \overline{f} \left( i(n) \right) := f(n) \) e questo è vero per definizione!

Il punto problematico è definire \( \overline{f} \) per \(q=\frac{a}{b} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} \), ed è problematico perché la potenza è un operazione non è ben definita su \( \mathbb{Q}\) siccome dipende dal rappresentante scelto, per questo la si definisce solo quando \( \operatorname{gcd}(a,b)=1 \).

Quindi se vogliamo essere pignoli ha ragione chi dice che \( x^{2/2} \) non è definito! Ma non mi scandalizzo se \(x^{2/2} = x^1 \) sfruttando il fatto che \((2,2) \sim (1,1) \), perché nel concreto tipicamente se mi ritrovo con \( x^{ \text{roba brutta ma uguale a 1}} \) allora dico \(x^1\)

[axpgn]

Si, ma no

Sì, non no.

Tutti i discorsi che fai sono inutili (ho detto inutili non errati )
Basta questo

Quindi se vogliamo essere pignoli ha ragione chi dice che \( x^{2/2} \) non è definito!

Quindi per evitare tutto 'sto casino, in generale, si è concordi nel dire che se l'esponente non è intero, la base non deve essere negativa.