axpgn ha scritto:Tutti i discorsi che fai sono inutili (ho detto inutili non errati
)
Che sia utile o meno penso sia soggettivo!
LucianoD ha scritto:Premetto che da parte mia (come mi sembra di intuire, da parte vostra) non c'è alcuna volontà di polemica. Meglio precisarlo perché purtroppo i forum (dai quali cerco di stare lontano...) portano troppo spesso a diverbi che rovinano anche le discussioni più interessanti.
No! Assolutamente no, nessuno vuole fare polemica! La stessa domanda può ricevere molte risposte differenti a diversa del grado di approfondimento che si vuole!
LucianoD ha scritto:Prendo solo un dettaglio da ciò che hai scritto:
... per questo la si definisce solo quando $ \mathbb{gcd}(a,b)=1 $
Guarda che è proprio questo che altri hanno definito spregiatamente "americanata", dando per scontato sia un'assunzione errata. Se si accettasse tale assunzione, allora sarebbe $ frac{2}{2}=frac{1}{1} $ e la questione sarebbe risolta (sempre che qualcuno non si inventi la radice di grado 1...).
Non so chi ha detto cosa perché non ho letto la risposta della persona interessata, se vuoi puoi magari scrivere la sua risposta. Mentre il punto è proprio che se definisco un operazione \(f(x,a/b)= x^{a/b} \) solo quando \( \operatorname{gcd}(a,b)=1 \), che di americano non ha proprio nulla a che vedere, allora questa operazione
non è definita se prendi \(a/b= 2/2 \) proprio perché \( \operatorname{gcd}(2,2)=2 \), mentre è definita se prendi \(a/b=1/1 \) quindi formalmente \(x^{2/2} \) non ha significato mentre \(x^{1/1} = x \).
Comunque sia siccome mi sembri più interessato a \( \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \), che non centra con il problema della radice, ma ecco nel seguito una spiegazione più dettagliata! Tieni però presente che nessuno quando usa \( \mathbb{Q} \) considera \( \mathbb{Q} \) così se non in casi particolari:
Hai tanti modi di costruire \( \mathbb{Q} \), uno è quello che ti ho mostrato, ovvero prendi \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^{\ast} \), ovvero le coppie \((n,m)\) dove \( m \neq 0\) perché \(0\) non possiede un inverso moltiplicativo, i.e. non è un unità in \( \mathbb{Z} \). Poi lo quozienti per la relazione di equivalenza \( (a,b) \sim (a',b') \) se e solo se \( ab' = a'b \). Fare un quoziente significa in soldoni che consideri "uguali" le coppie che soddisfano quelle relazioni.
Ora abbiamo che \( \frac{a}{b} \) designa la classe di equivalenza di \((a,b)\), i.e. \( \frac{a}{b} = \{ \frac{a'}{b'} : (a',b') \sim (a,b) \} \), NB: è un insieme.
La classe di equivalenza è quindi un insieme che contiene tutte le coppie che sono in relazione con \((a,b) \). Ad esempio \( \frac{1}{2} = \{ \frac{1}{2} , \frac{2}{4} , \frac{3}{6} , \ldots \} \), ora hai che \( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \) perché \( \frac{2}{4} = \{ \frac{1}{2} , \frac{2}{4} , \frac{3}{6} , \ldots \} \) e questo segue direttamente dalla proprietà transitiva di una relazione di equivalenza.
Bene possiamo quindi scegliere un rappresentante da ogni classe, una coppia, per rappresentare l'insieme di tutte le coppie con cui è in relazione. Quindi come puoi vedere, formalmente \( \frac{2}{2} \) è una classe di equivalenza, non un numero intero. Ora \( \mathbb{Q} \) è l'insieme che contiene tutte classi di equivalenza di \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^{\ast} \) per la relazione di equivalenza \( \sim \), questo si scrive \( \mathbb{Q} = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^{\ast} / \sim \). Anche se però non vuoi vedere \( \mathbb{Q} \) come un insieme di insiemi ma come un insieme di numeri, nel concreto puoi trattare \( \frac{2}{2} \) proprio come tratti il numero \(1\) in \( \mathbb{Z} \) questo perché puoi vedere \( \mathbb{Q} \) come quel insieme di numeri che contiene \( \mathbb{Z} \) e i suoi inversi moltiplicativi e che rispetta le proprietà di campo. Anche se non sono propriamente numeri ma classi di equivalenza, ma facendo il quoziente guadagni una cosa importante che non avevi in \( \mathbb{Z} \), ogni "numero" che non è zero ha un inverso moltiplicativo, infatti la classe \( \frac{1}{n} \) è l'inverso di \( \frac{n}{1} \), ovvero ottieni la classe \( \frac{n}{n} = \frac{1}{1} = \{ \frac{1}{1}, \frac{2}{2}, \frac{3}{3}, \ldots \} = \mathbb{1}_{\mathbb{Q}} \)
Nota che non abbiamo ancora una nozione di somma o di prodotto.
Una mappa \( f \) su \( \mathbb{Q} \) è
ben definita se non dipende dal rappresentante scelto per rappresentare la classe di equivalenza.
La somma su \( \mathbb{Q} \) è ben definita infatti
\[ +_{\mathbb{Q}} : \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} \]
\[ \left( \frac{a}{b} , \frac{c}{d} \right) \mapsto \frac{a}{b} +_{\mathbb{Q}} \frac{c}{d} := \frac{ ad +_{\mathbb{Z}} cb}{bd} \]
dove \( +_{\mathbb{Z}} \) è la somma su \( \mathbb{Z} \).
D'ora in avanti per alleggerire la notazione scriveremo con un abuso di notazione \( + \) sia per indicare \( +_{\mathbb{Z}} \) che per indicare \( +_{\mathbb{Q}} \) ma sono due operazioni diverse.
Claim: La somma è una mappa ben definita.
Dimostrazione: Se prendiamo \( \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'} \) e \( \frac{c}{d} = \frac{c'}{d'} \) allora dobbiamo avere che
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a'}{b'} + \frac{c'}{d'} \]
ovvero la somma non dipende dal rappresentante che scegliamo. Abbiamo che
\[ \frac{ ad + cb}{bd} = \frac{ a'd' + c'b'}{b'd'} \]
se e solo se
\[ (ad + bc) b'd' = (a'd'+c'b')bd \]
se e solo se
\[ adb'd' + bcb'd' = a'd'bd + c'b'bd \]
se e solo se
\[ ab'd'd + cd'b'b = a'bd'd + c'db'b \]
utilizzando la nostra relazione di equivalenza, i.e. \( ab' = a'b \) e \( cd' = c'd \), abbiamo che quest'ultima uguaglianza è soddisfatta. La somma quindi è ben definita, ovvero non importa quale rappresentante scelgo che ottengo lo stesso risultato! Il prodotto in \( \mathbb{Q} \) si dimostra in modo simile.
Perché \( \mathbb{Z} \) formalmente, con questa costruzione, non è un sottoinsieme di \( \mathbb{Q} \) ?
Risposta: Uno è un insieme di numeri l'altro è un insieme di classi di equivalenze.
Perché si può fare un abuso di notazione e considerare \( \mathbb{Z} \) come sottoinsieme di \( \mathbb{Q} \) come tutto il mondo sano di mente fa?
Risposta: Perché esiste una funzione immersione appunto, ovvero una mappa iniettiva che preserva un certo tipo di proprietà della struttura a dipendenza se si parla di strutture algebriche, topologiche, metriche, etc
Nel nostro caso specifico l'immersione è
\[ j : \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q} \]
\[ n \mapsto j(n)= \frac{n}{1} \]
ovvero il numero intero \(n\) è mappato alla classe di equivalenza \( \frac{n}{1} = \{ \frac{n}{1}, \frac{2n}{2}, \frac{3n}{3} , \frac{4n}{4} , \ldots \} \).
La struttura di anello in questo caso è soddisfatta, in particolare abbiamo che \( n \mapsto j(n) \) e \(m \mapsto j(m) \) allora \( n+m \mapsto j(n) + j(m) \) e \( nm \mapsto j(n)j(m) \) e \( j\left(1_{\mathbb{Z}} \right) = \frac{1_{\mathbb{Z}}}{1} = 1_{ \mathbb{Q} } \)
In particolare
\[ j : \mathbb{Z} \leftrightarrow j(\mathbb{Z} ) \]
è una automorfismo di anelli, una biezione che soddisfa appunto queste tre proprietà qui sopra, e questo ci garantisce che la struttura di anello è preservata (che \( j(\mathbb{Z}) \) lo puoi considerare come se fosse \( \mathbb{Z} \) ), quindi quando vediamo scritto \( \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \) in realtà quello che stiamo dicendo è \( j(\mathbb{Z}) \subseteq \mathbb{Q} \) ma siccome \(\mathbb{Z} \) e \( j(\mathbb{Z}) \) si comportano esattamente nello stesso modo facciamo un abuso di notazione e scriviamo \( \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \).
Tornando alle potenze:
NB: Nel seguito non mi preoccupo se \( \sqrt[ b] {x^a} \) esiste in \( \mathbb{R} \) o se è una radice complessa, bisognerebbe mettere condizioni anche in base alla parità di \(b\) ma non ho voglia di scriverle, perdonate la pigrizia
Definizione errata e naif della potenza:
Proviamo a definire la potenza \(p(x,q) = x^q \) con esponente in \( q \in \mathbb{Q} \) nel seguente modo
\[ p: \mathbb{R} \times \mathbb{Q} \to \mathbb{R} \]
\[ \left( x, \frac{a}{b} \right) \mapsto p(x,a/b)=\sqrt[ b ]{x^a} \]
Questa mappa è ben definita? Dobbiamo verificare che per ogni \(x \in \mathbb{R} \) abbiamo che \( p(x,a/b) = p(x a'/b') \) per ogni \( \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'} \).
Problema: Abbiamo che \( \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \) ma
\[ p\left( -1, \frac{1}{3} \right) = \sqrt[3]{(-1)^1} = 1 \neq -1 = \sqrt[6]{(-1)^2} = p\left( -1, \frac{2}{6} \right) \]
e questo è un problema perché dovrebbe darci lo stesso risultato per essere una funzione.
Conclusione la mappa naif da noi definita non va bene!!
Come risolvere il problema ?
Un modo possibile e anche quello più naturale è quello di considerare \( \mathbf{Q} = \{ \frac{a}{b} : \operatorname{gcd}(a,b) =1 \} \) ovvero scelgo e fisso i miei rappresentanti delle classi di equivalenza e usare la definizione naif precedente
Sia con esponente nel seguente modo
\[ p: \mathbb{R} \times \mathbf{Q} \to \mathbb{R} \]
\[ \left( x, \frac{a}{b} \right) \mapsto p(x,a/b)= \sqrt[ b ]{ x^a} \]
non abbiamo più il problema di controllare se è ben definita su gli altri rappresentanti perché non ci sono in \( \mathbf{Q} \). In questo caso abbiamo che \(p(x,2/2) \) non è definito perché \( \frac{2}{2} \not\in \mathbf{Q} \).
Chiaramente questa definizione risolve solo il problema delle classi di equivalenza, qui abbiamo un altro problema ovvero che per alcuni \(x\), la funzione \( \sqrt[ b ]{ x^a} \) prende valori complessi.
Potremmo poi dare una definizione differente ben definita su \( \mathbb{Q} \) dicendo che se mi trovo un rappresentante con \( \operatorname{gcd}(a',b') \neq 1 \) allora lo cambio in \( (a,b) \sim (a',b') \) tale che \( \operatorname{gcd}(a,b) = 1 \) e solo con questa aggiunta finale hai che \( x^{2/2} = x^1 \).
La costruzione di \( \mathbb{R} \) è un altra storia
