axpgn ha scritto:Al di là del fatto se $ 2/2 $ sia un intero o meno (no, non lo è, è un numero razionale, così come $ sin(pi) $ è un numero reale)
Si, ma no
Se \( x \geq 0 \) non c'è nessun problema puoi fare quello che vuoi perché la potenza su \( \mathbb{Q} \) è ben definita!
Se invece \( x < 0 \) la potenza non è un operazione ben definita, i.e. dipende dal rappresentate scelto!
Se prendi \( \mathbb{Q} = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^{\ast}/ \sim \) dove \( (a,b) \sim (a',b') \) se e solo se \(ab'=a'b\). Ora \( \mathbb{Q} \) contiene \( \mathbb{Z} \) via l'inclusione naturale \( i : \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q} \) dove \( n \mapsto \frac{n}{1} \) per ogni \(n \in \mathbb{Z} \). Inoltre \( 0_{\mathbb{Q}} = \frac{ 0_{\mathbb{Z}} }{ 1_{\mathbb{Z}} } = \frac{ 0_{\mathbb{Z}} }{ b } \) per ogni \(b \in \mathbb{Z}^{\ast} \) e \( 1_{\mathbb{Q}} = \frac{ 1_{\mathbb{Z}} }{ 1_{\mathbb{Z}} } = \frac{ b }{ b } \) per ogni \(b \in \mathbb{Z}^{\ast} \). Identificando \( \mathbb{Z} \) con \( i \left( \mathbb{Z} \right) \) hai che \( \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \).
Se hai un operazione \( f \) definita su \( \mathbb{Z} \) che vuoi estendere ad un operazione \( \overline{f} \) definita su \( \mathbb{Q} \), hai per
definizione \( \overline{f}(n) := f(n) \) per ogni \( n \in \mathbb{Z} \), o se vogliamo essere precisi \( \overline{f} \left( i(n) \right) := f(n) \) e questo è vero per definizione!
Il punto problematico è definire \( \overline{f} \) per \(q=\frac{a}{b} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} \), ed è problematico perché la potenza è un operazione
non è ben definita su \( \mathbb{Q}\) siccome dipende dal rappresentante scelto, per questo la si definisce solo quando \( \operatorname{gcd}(a,b)=1 \).
Quindi se vogliamo essere
pignoli ha ragione chi dice che \( x^{2/2} \)
non è definito! Ma non mi scandalizzo se \(x^{2/2} = x^1 \) sfruttando il fatto che \((2,2) \sim (1,1) \), perché nel concreto tipicamente se mi ritrovo con \( x^{ \text{roba brutta ma uguale a 1}} \) allora dico \(x^1\)