Azioni paradossali

[3m0o]

Un azione \(G \curvearrowright X \) di un gruppo su un insieme \(X\) è detta paradossale, se \(X\) ammette una decomposizione paradossale, i.e. se esistono \( A_1, \ldots, A_n , B_1 , \ldots, B_m \subseteq X \) ed esistono \( g_1,\ldots,g_n , h_1,\ldots,h_m \in G \) tale che
\[ X = A_1 \sqcup \ldots \sqcup A_n \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_m \]
e
\[ X = g_1 A_1 \sqcup \ldots \sqcup g_n A_n \]
\[ X= h_1 B_1 \sqcup \ldots \sqcup h_m B_m \]

Sia \( \operatorname{SO}(3) \) il gruppo delle rotazioni di \( \mathbb{R}^3 \), \( B = \{ x \in \mathbb{R}^3 , \left \| x \right \| \leq 1 \} \) la palla unitaria e sia \( \dot{B} = B \setminus \{ (0,0,0)\} \) la palla unitaria senza l'origine.

1) Dimostrare che \( \operatorname{SO}(3) \curvearrowright \dot{B} \) è paradossale.

Hint 1: Un gruppo \(G\) è amenabile se e solo se \( G \curvearrowright X \) è amenabile e \( \forall x \in X \), \( \operatorname{Stab}_G(x) \) è amenabile.
Hint 2: (Teorema di Tarski) Un azione \( G \curvearrowright X \) è amenabile se e solo se non è paradossale.

Data un azione \(G \curvearrowright X \), diciamo che una funzione \( f : X \to X \) è a pezzi \(G\) se esistono \( A_1, \ldots, A_n \subseteq X \) ed esistono \( g_1 , \ldots , g_n \in G \) tale che \( X= A_1 \sqcup \ldots \sqcup A_n\) e tale che per ogni \(1 \leq i \leq n \) abbiamo \( f(x) = g_i x \) per ogni \( x \in A_i \). Siano \(A,B \subseteq X \), diciamo che \(A\) e \(B\) sono equidecomponibili, denotato \( A \sim_G B\), se esiste una biezione \( f: A \to B \) che è a pezzi \(G\).


2) Sia \( G = \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^3)\) il gruppo delle isometrie di \( \mathbb{R}^3 \), dedurre da 1) che \[ \dot{B} \sim_G \dot{B} \sqcup \left( \dot{B} + v \right) \]
dove \( v \) è un vettore tale che \( \left \| v \right \| \geq 2 \).

Hint: Dimostrare che \( G \curvearrowright X \) è paradossale se e solo se esistono \( \sigma_{\pm} : X \hookrightarrow X \) due iniezioni a pezzi \(G\) tale che \( \sigma_+ (X) \cap \sigma_{-} (X) = \emptyset \) e con \( \sigma_{\pm}(X) \sim_G X \).

3) A vostro avviso \( \operatorname{SO}(3) \curvearrowright B \) è paradossale?
Hint: Pensare ai punti fissi.

[j18eos]

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Un azione [...]

Azione è un sostantivo femminile: qui ci vuole l'apostrofo!

Gli insiemi \(\displaystyle A_i,B_j\) sono non vuoti e disgiunti tra di loro?

[3m0o]

Ciao j18eos!
Disgiunti sì, infatti con \( \sqcup \) intendo l'unione disgiunta. Vuoti non necessariamente.