Salve! Per dimostrare questa proposizione, possiamo utilizzare l'espressione della serie di Maclaurin per la funzione esponenziale \(e^x\):
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots \]
Ora, consideriamo l'espressione che hai dato:
\[ e^{-n}(1 + n\frac{1}{1!} + n^2\frac{1}{2!} + \ldots + n^n\frac{1}{n!}) \]
Notiamo che possiamo riscrivere questa espressione come:
\[ e^{-n}\left(\frac{n^0}{0!} + \frac{n^1}{1!} + \frac{n^2}{2!} + \ldots + \frac{n^n}{n!}\right) \]
Ora, confrontiamo questa espressione con la serie di Maclaurin dell'esponenziale \(e^x\), sostituendo \(x = n\):
\[ e^{-n}(1 + n\frac{1}{1!} + n^2\frac{1}{2!} + \ldots + n^n\frac{1}{n!}) \]
\[ = e^{-n}e^n \]
\[ = e^{-n+n} \]
\[ = e^0 \]
\[ = 1 \]
Quindi, la tua ipotesi iniziale era corretta, e l'espressione tende a 1 mentre \(n\) va all'infinito. La somma fra parentesi, quando \(n\) va all'infinito, rappresenta effettivamente la serie di Maclaurin per \(e^x\), e il termine \(e^{-n}\) annulla il termine \(e^n\), portando alla conclusione che l'espressione tende a 1 quando \(n\) va all'infinito.
Fammi sapere se la risposta è stata di tuo gradimento.