Indovinello

[3m0o]

Stavo guardando delle immagini "divertenti"/battute/meme sulla matematica e mi sono imbattuto su uno che non capisco troppo se scherzano sul fatto che è non è risolvibile oppure sulle classiche domande degli indovinelli stile "hai due domande per indovinare".

L'immagine era questa:


Scrivo il testo nel caso in cui l'immagine venga perduta:
An evil giant is thinking about an abelian Group \(G\) of order 144. You are allowed to ask two questions of the form: "What is the dimension of \(p^{\ell}G/p^{\ell+1}G\) considered as a vector space over \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)?", where you may choose \(p\) and \( \ell \) as you like. The giant will answer truthfully, but if you cannot guess the group after two questions, she will kill you. Is there any way that you can be sure of surviving?"

+
[meme guess I'll die]

La mia idea, qualcuno ha delle idee migliori?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Allora, a meno di isomorfismi, esistono soltanto \(2 \) gruppi abeliani di ordine \(9 \) e \(5\) gruppi abeliani di ordine \(16\) che sono i seguenti:
Sottogruppi di ordine 9
- \( \mathbb{Z}/9 \mathbb{Z} \)
- \( \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \)


Sottogruppi di ordine 16:
- \( \mathbb{Z}/16\mathbb{Z} \)
- \( \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \)
- \( \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \)
- \( \mathbb{Z}/4 \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \)
- \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \)

Quindi esistono soltanto \(10\) gruppi abeliani di ordine 144, siccome \(G\) è isomorfo alla somma diretta dei suoi gruppi di Sylow (se ricordo bene). Pertanto con una domanda sceglierei \(p=3\) e cercherei di individuare il sottogruppo di ordine \(9\) mentre con l'altra domanda sceglierei \(p=2\) e cercherei di individuare il sottogruppo di ordine \(16\).
Abbiamo che

- \( \dim_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/16\mathbb{Z} = 4 \)
- \( \dim_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z} = 3 \)
- \( \dim_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} =2 \)
- \( \dim_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = 1 \)
Dunque i sottogruppi di ordine \( 16 \) hanno tutti dimensione \(4\) come \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) spazi vettoriali. Quindi \( \ell = 0 \) non va bene. Ma non so troppo continuare

[AleBoschi03]

Domanda 1:

Consideriamo attentamente il gruppo abeliano \(G\) di ordine \(144\), dove gli elementi di \(G\) sono rappresentati tramite l'operazione di somma. Introduciamo \(p\) come un primo arbitrario e \(d_1\) come la dimensione dello spazio vettoriale su \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) generato dagli elementi di ordine \(p\) in \(G\).

La dimensione \(d_1\) può essere formalizzata mediante il seguente spazio vettoriale:

\[d_1 = \dim_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\left(\frac{p^2G}{pG}\right).\]

Ora, procediamo con una disamina più approfondita della struttura di \(G\). Esprimiamo l'ordine di \(G\), \(144\), come il prodotto di una potenza di \(p\), ossia \(p^k\), e un altro termine \(m\), che è il prodotto degli altri fattori primi presenti in \(144\). Notiamo che la massima potenza di \(p\) che divide \(144\) è \(p^2\), da cui \(k = 2\).

Per investigare \(d_1\) in modo più approfondito, riscriviamolo in termini di \(p\) e \(k\):

\[d_1 = \dim_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\left(\frac{p^2G}{p^{k+1}G}\right).\]

**Calcoli dettagliati per la Domanda 1:**

Ora, per calcolare \(d_1\), consideriamo il quoziente \(\frac{p^2G}{p^{k+1}G}\). Questo quoziente rappresenta il gruppo degli elementi di ordine \(p\) in \(G\). La dimensione di questo spazio vettoriale è quindi \(d_1\).

\[d_1 = \dim_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\left(\frac{p^2G}{p^{k+1}G}\right).\]

Utilizziamo il fatto che la dimensione di uno spazio vettoriale è data dal numero di elementi nella base dello spazio. In questo contesto, la base è costituita dagli elementi di ordine \(p\) in \(G\). Poiché stiamo lavorando su \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), ci interessa il numero di elementi linearmente indipendenti di ordine \(p\) in \(G\).

\[d_1 = \dim_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\left(\frac{p^2G}{p^{k+1}G}\right) = 1.\]

Quindi, \(d_1\) è effettivamente \(1\), indicando che esiste un elemento di ordine \(p\) in \(G\).

**Domanda 2:**

Manteniamo il contesto di \(G\) di ordine \(144\). Introduciamo \(d_2\) come la dimensione dello spazio vettoriale su \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) generato dagli elementi di ordine \(p\) al grado \(\ell\) in \(G\), dove \(\ell\) è un esponente qualsiasi, ma limitato a \(\ell \leq k\).

La dimensione \(d_2\) può essere espressa come:

\[d_2 = \dim_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\left(\frac{p^\ell G}{p^{\ell+1}G}\right).\]

**Calcoli dettagliati per la Domanda 2:**

Per analizzare \(d_2\), consideriamo il quoziente \(\frac{p^\ell G}{p^{\ell+1}G}\). Questo rappresenta il gruppo degli elementi di ordine \(p\) al grado \(\ell\) in \(G\). La dimensione di questo spazio vettoriale è \(d_2\).

\[d_2 = \dim_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\left(\frac{p^\ell G}{p^{\ell+1}G}\right).\]

Come prima, utilizziamo il concetto di dimensione di uno spazio vettoriale. La base in questo caso consiste negli elementi di ordine \(p\) al grado \(\ell\) in \(G\). Poiché lavoriamo su \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), ciò equivale al numero di elementi linearmente indipendenti di ordine \(p\) al grado \(\ell\) in \(G\).

\[d_2 = \dim_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}\left(\frac{p^\ell G}{p^{\ell+1}G}\right) = 1.\]

La seconda domanda può quindi essere formulata come: "Esprimi \(d_2\) in funzione di \(p\) e \(\ell\), dove \(d_2 = 1\) e \(\ell \leq k\)."

**Conclusioni e Risposte Finali:**

Concludiamo le domande con le risposte al gigante:

1. La struttura di \(G\) è quella di un gruppo ciclico di ordine \(p^k\), con \(k = 2\).

2. La dimensione \(d_1\) è espressa come \(1\) in funzione di \(p\) e \(k\), mentre la dimensione \(d_2\) è anch'essa \(1\) in funzione di \(p\) e \(\ell\), con la restrizione \(\ell \leq k\).

[AleBoschi03]

È un interessante problema di algebra astratta, e la tua strategia di scegliere \(p=3\) e \(p=2\) per cercare sottogruppi di ordine \(9\) e \(16\) è un approccio sagace. Per procedere, possiamo analizzare più approfonditamente le informazioni fornite e affinare la nostra strategia.

**Esame delle Dimensioni:**

Hai già osservato che i sottogruppi di ordine \(16\) hanno dimensioni come spazi vettoriali su \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) rispettivamente \(4\), \(3\), \(2\), e \(1\). La dimensione rappresenta il numero di generatori linearmente indipendenti nello spazio vettoriale. Notiamo che, poiché \(G\) è di ordine \(144 = 2^4 \cdot 3^2\), le dimensioni dei sottogruppi devono dividere \(2^4\) e \(3^2\) rispettivamente.

**Strategia per la Prima Domanda (p=3):**

Per individuare il sottogruppo di ordine \(9\), consideriamo \(p=3\). La dimensione dello spazio vettoriale associato a \(p\) dovrebbe essere \(2\) o \(4\) per essere un divisore di \(3^2\). Tuttavia, poiché \(2\) non è un divisore di \(3^2\), possiamo dedurre che la dimensione deve essere \(4\).

Quindi, la prima domanda potrebbe essere formulata come:

"Qual è la dimensione di \(p^\ell G/p^{\ell+1}G\) considerato come uno spazio vettoriale su \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\)?"

Dove \(\ell\) è scelto in modo che la dimensione sia \(4\).

**Strategia per la Seconda Domanda (p=2):**

Ora concentriamoci su \(p=2\) per individuare i sottogruppi di ordine \(16\). Come hai notato, le dimensioni associate a \(p=2\) sono \(4\), \(3\), \(2\), e \(1\). Poiché le dimensioni dei sottogruppi devono dividere \(2^4\), tutte le dimensioni sono permesse.

Quindi, la seconda domanda potrebbe essere formulata come:

"Qual è la dimensione di \(p^\ell G/p^{\ell+1}G\) considerato come uno spazio vettoriale su \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)?"

Dove \(\ell\) è scelto in modo appropriato in base alle dimensioni possibili.

**Continuazione della Strategia:**

Ora, per entrambe le domande, dovremmo esplorare i possibili valori di \(\ell\) per ottenere la dimensione desiderata. Considerando la struttura di \(G\) come la somma diretta dei suoi gruppi di Sylow, possiamo utilizzare il fatto che la dimensione di un sottogruppo è legata al suo ordine. Quindi, cercare \(p^\ell G/p^{\ell+1}G\) con la dimensione desiderata ci porterà a individuare il sottogruppo di ordine corrispondente.

Spero che questa strategia ti aiuti a procedere nel risolvere il problema!