L'immagine era questa:
Scrivo il testo nel caso in cui l'immagine venga perduta:
An evil giant is thinking about an abelian Group \(G\) of order 144. You are allowed to ask two questions of the form: "What is the dimension of \(p^{\ell}G/p^{\ell+1}G\) considered as a vector space over \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)?", where you may choose \(p\) and \( \ell \) as you like. The giant will answer truthfully, but if you cannot guess the group after two questions, she will kill you. Is there any way that you can be sure of surviving?"
+
[meme guess I'll die]
La mia idea, qualcuno ha delle idee migliori?
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Allora, a meno di isomorfismi, esistono soltanto \(2 \) gruppi abeliani di ordine \(9 \) e \(5\) gruppi abeliani di ordine \(16\) che sono i seguenti:
Sottogruppi di ordine 9
- \( \mathbb{Z}/9 \mathbb{Z} \)
- \( \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \)
Sottogruppi di ordine 16:
- \( \mathbb{Z}/16\mathbb{Z} \)
- \( \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \)
- \( \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \)
- \( \mathbb{Z}/4 \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \)
- \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \)
Quindi esistono soltanto \(10\) gruppi abeliani di ordine 144, siccome \(G\) è isomorfo alla somma diretta dei suoi gruppi di Sylow (se ricordo bene). Pertanto con una domanda sceglierei \(p=3\) e cercherei di individuare il sottogruppo di ordine \(9\) mentre con l'altra domanda sceglierei \(p=2\) e cercherei di individuare il sottogruppo di ordine \(16\).
Abbiamo che
- \( \dim_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/16\mathbb{Z} = 4 \)
- \( \dim_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z} = 3 \)
- \( \dim_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} =2 \)
- \( \dim_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = 1 \)
Dunque i sottogruppi di ordine \( 16 \) hanno tutti dimensione \(4\) come \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) spazi vettoriali. Quindi \( \ell = 0 \) non va bene. Ma non so troppo continuare
Sottogruppi di ordine 9
- \( \mathbb{Z}/9 \mathbb{Z} \)
- \( \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \)
Sottogruppi di ordine 16:
- \( \mathbb{Z}/16\mathbb{Z} \)
- \( \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \)
- \( \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \)
- \( \mathbb{Z}/4 \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \)
- \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \)
Quindi esistono soltanto \(10\) gruppi abeliani di ordine 144, siccome \(G\) è isomorfo alla somma diretta dei suoi gruppi di Sylow (se ricordo bene). Pertanto con una domanda sceglierei \(p=3\) e cercherei di individuare il sottogruppo di ordine \(9\) mentre con l'altra domanda sceglierei \(p=2\) e cercherei di individuare il sottogruppo di ordine \(16\).
Abbiamo che
- \( \dim_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/16\mathbb{Z} = 4 \)
- \( \dim_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z} = 3 \)
- \( \dim_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} =2 \)
- \( \dim_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = 1 \)
Dunque i sottogruppi di ordine \( 16 \) hanno tutti dimensione \(4\) come \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) spazi vettoriali. Quindi \( \ell = 0 \) non va bene. Ma non so troppo continuare