Sulla quantità $log_3 2+log_2 3$

[Steven]

Un semplice esercizio per chi è alle prese con i logaritmi

Determinare se l'espressione
$log_3 2+log_2 3$
è minore o maggiore di $2$

[John_Nash]

Un semplice esercizio per chi è alle prese con i logaritmi

Determinare se l'espressione
$log_3 2+log_2 3$
è minore o maggiore di $2$

ma, così ad occhio direi che è maggiore di 2, facendo due piccoli conti a mente.. Ma se dovessi dimostrarlo non saprei come fare.
Al max potrei trovare un risultato approssimato con una calcolatrice..

[Steven]

ma, così ad occhio direi che è maggiore di 2, facendo due piccoli conti a mente..

Eh eh, lo so.

Al max potrei trovare un risultato approssimato con una calcolatrice..

Direi che non c'è bisogno che risponda

E' comunque facile, non scoraggiatevi

[G.D.]

Si portino ambo i logaritmi in base $10$:

$log_3 2 = \frac{Log2}{Log3}$ e $log_{2}3=\frac{Log3}{Log2}$

Si ponga $Log3 = a$ e $Log2 = b$ e si consideri la quantità $(\frac{a}{b} - 1)^2>=0$: la disuguaglianza vale in senso stretto, quindi

$(\frac{a}{b} - 1)^2>0$

Dalla precedente disuguaglianza segue che $lg_{2}3 + log_{3}2 > 2$:

$(\frac{a}{b} - 1)^2>0 => (\frac{a}{b})^2 - 2\frac{a}{b} + 1 > 0 => (\frac{a}{b})^2 + 1 > 2\frac{a}{b} => \frac{(\frac{a}{b})^2 + 1}{\frac{a}{b}}> 2 => 2 < \frac{(\frac{a}{b})^2 + 1}{\frac{a}{b}} = \frac{a}{b} + \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{Log3}{Log2} + \frac{Log2}{Log3}=log_{2}3 + log_{3}2$

[fu^2]

certe cose non si possono vedere...

[Steven]

Buongiorno

$=(log^2\2+log^2\3)/(log3*log2)=(2log2+2log3)/(log3*log2)=(2log6)/(log3*log2)

Sei sicuro di questo passaggio?
Infatti tu dici che $log^2 3=2log 3$ e anche $log^2 2=2log 2$
ma in realtà la proprietà dice che $logx^n=nlogx$, insomma, l'esponente è dell'argomento, non del logaritmo, quindi non puoi portare fuori.

Carina quella di Wizard, io ne ho una più snella nei calcoli.
Per chi vuole provare, sfrutta il fatto che
$log_a b*log_b a=1$

[Steven]

Va bene, posto l'altra soluzione.

Verifichiamo se $log_2 3+log_3 2>2$
Poiché si ha $log_a b=1/(log_b a)$, e portando a sinistra il due ho
$log_2 3+1/(log_2 3)-2>0$
$(log_2^2 3+1-2log_2 3)/(log_2 3)>0$
ma quest'ultima disuguaglianza è banalmente vera, dato che al numeratore abbiamo un quadrato binomio e al numeratore una quantità certamente positiva (argomento maggiore di $1$)

Ciao.

[G.D.]

Perdonate la mia ignoranza e la mia lentezza nel seguire certi ragionamenti, ma posso porre una domanda?

Prima, però, una precisazione: non metto in dubbio la correttezza della soluzione trovata dall'amico Steven, è proprio un dubbio che m'è venuto spontaneo adesso leggendo la sua soluzione e che ha carattere generale (magari se questa non è la sezione adatta me lo dite e posto la domanda in una sezione più appropiata - magari dietro oppotyuno suggerimento ).

La dimostrazione di Steven pocede in questo modo: vuole verificare una certa disuguaglianza, che, quindi, costituisce una tesi. Assunta la tesi, va avanti ottenendo qualche cosa di vero. Questo mi sembra una specie di Reductio Ad Absurdum senza l'assurdo: cioè, si assume la tesi per ottenere qualche cosa di vero; non è un procedimento un pochino strano (da un punto di vista meramente logico-formale)?

Quello che voglio dire è che assumere una tesi e provare che da questa discende qualche cosa di vero non mi sembra sufficiente per dire che la tesi è vera, è un pò come dire che in una Reductio Ad Absurdum l'assunzione di una tesi in realtà falsa porta alla negazione di ogni enunciato provato in una certa teoria.

Magari lo stesso Steven può dissipare i miei dubbi.

[Albe]

le implicazioni che usa Steven sono tutte a doppio senso (sono passaggi algebrici), quindi partendo da $(log_2^2 3+1-2log_2 3)/(log_2 3)>0$ che è vera risali alla tesi..

[Steven]

Magari lo stesso Steven può dissipare i miei dubbi.

Impresa ardua, visto che sicuramente ne sai più di me nella materia, ma vediamo che si può fare

L'espressione $log_2 3+log_3 2$ deve essere minore, maggiore o uguale a 2, non si scappa da qua.
Io quindi analizzo tutte e tre le possibilità, e vedo dove vado a parare.

Vedo che succede supponendo $log_2 3+log_3 2<2$.
Siccome i passaggi algebrici sono gli stessi di prima (cambia appunto solo il verso della disequazione) giungo a
$(log_2^2 3+1-2log_2 3)/(log_2 3)<0$

Ora ipotizzo l'uguaglianza. Come al solito i passaggi sono gli stessi, e pervengo a
$(log_2^2 3+1-2log_2 3)/(log_2 3)=0$

Se ipotizzo la maggioranza, giungo a
$(log_2^2 3+1-2log_2 3)/(log_2 3)>0$

Ma adesso vedo i tre risultati: il primo è chiaramente assurdo, perché mi dice che il rapporto tra due positivi (o al massimo il numeratore è nullo, ma la disequazione è in senso stretto quindi non va comunque bene) è negativo.
Perciò l'ipotesi a monte è falsa.
Discorso analogo con il secondo: mi pare evidente che il numeratore non è mai nullo, infatti $log_2 3>log_2 2=1$
Insomma, deve essere vera solo la scelta che sta a capo del terzo risultato.

Anche la spiegazione di Albe è valida: i passaggi sono a doppio senso, quindi io parto dall'espressione finale
$(log_2^2 3+1-2log_2 3)/(log_2 3)>0$
e con due ritocchetti vado a ritroso ritrovando $log_2 3+log_3 2>2$
Il fatto è che non potevo prevedere dall'inizio quell'espressione che, trasformata, mi restituiva la tesi, quindi ho fatto il percorso contrario, risalendo.
Tu invece in un certo senso l'hai fatto: hai inventato $(a/b-1)>0$ e sei sceso.

Spero di essermi espresso bene,
buona serata.