[Algebra lineare] Raggio spettrale di un prodotto

[Gabriel]

... ti ripeto - pur variando i termini - che non c'è ragione per cui debba scusarti. Piuttosto - come suggerisci - torniamo sul problema.

per tornare al raggio spettrale bisogna considerare TUTTE le norme indotte (questo basta ?? ci penso un momento--).

Sì, è sufficiente. E i tuoi argomenti sono definitivi. Ammesso, però, che dimostri come dalla convessità sia deducibile che, per ogni $x = (x_1, \ldots, x_n) \in CC^n$ ed ogni $a \in CC$ per cui $|a| \le 1$: $||(x_1$$, \ldots, ax_i, \ldots, x_n$$)|| \le ||x||$. Qui, ovviamente, $||\cdot||$ è una qualsiasi norma $CC^n \to RR$.

[ViciousGoblin]

Ammesso, però, che dimostri come dalla convessità sia deducibile che, per ogni x=(x1,...,xn)∈ℂn ed ogni a∈ℂ per cui |a|≤1: ||(x1,...,axi,...,xn)||≤||x||. Qui, ovviamente, ||⋅|| è una qualsiasi norma ℂn→ℝ.

Ahi ahi, mai rispondere con troppa fretta. L'immagine mentale che mi ero fatto del problema e' sbagliata - in effetti, anche se le
palle sono convesse, non e' detto che siano "messe bene" rispetto agli assi. No, non e' detto che diminuendo una coordinata la norma diminusca.
Si puo' in effetti considerare in $CC^2$ la norma $||(x,y)||:=|x+y|+2|x-y|$ (le cui palle sono dei rombi con gli assi sulle bisettrici dei quadranti).
E' chiaro che $||(1,1)||=2$ mentre $||(0,1)||=3$.

Se non ti dispiace penso un po' al problema originario, a cui mi pare, non e' stata ancora data risposta.

[Gabriel]

... non mi dispiace affatto. E confermo che il problema attende ancora una soluzione.

[ViciousGoblin]

Prendiamo $A:=((1,3),(-3,-1))$ e $B:=((-1,0),(0,1))$. Se non ho sbagliato i calcoli il polinomio caratteristico di $A$
è $P_A(\lambda)=\lambda^2+8$ che ha radici di modulo $2\sqrt{2}$, mentre
$C:=AB=((-1,3),(3,-1))$
che ha polinomio caratteristico $P_C(\lambda)=\lambda^2+2\lambda-8$ le cui radici sono
$2$ e $-4$. Quindi $\rho(A)=2\sqrt{2}$ mentre $\rho(AB)=4>\rho(A)$, pur essendo $B$ diagonale
con tutti gli elementi di modulo (minore o) eguale a $1$.

Quindi il risultato è falso ... (sigh)

Scommetterei che è vero nel caso di $A$ simmetrica.

[Gabriel]

... un vero peccato!

Scommetterei che è vero nel caso di $A$ simmetrica.

Se per 'simmetrica' intendi 'hermitiana', certamente sì. Più in generale, la proprietà è vera quando $A \in CC^{n,n}$ è normale e $B \in C^{n,n}$ è diagonale. A questo punto, fingendo l'equivoco, si potrebbe rilassare la questione nei termini seguenti: se $A \in CC^{n,n}$ è simmetrica (i.e., $A = A^T$, dove l'apice indica trasposizione) e $B \in C^{n,n}$ è diagonale, è vero che $\rho(AB) \le \rho(A) \cdot \rho(B)$?