Riporto il testo del Problema Numero 1 del test d'ammissione alla SNS di Pisa del 1960/1961.
In un cerchio dato, il cui raggio è misurato da $r$, determinare un triangolo che abbia un vertice nel centro del cerchio e gli altri due, $A, B$, sulla circonferenza, in modo che la somma della base $AB$ e della relativa altezza sia uguale a un dato segmento misurato da $a$, supponendo $a < 2r$.
Questa è la soluzione che ho tentato io.
Sia $O$ il centro della circonferenza e $H$ la sua proiezione su $AB$. Risulta $OH=\sqrt{r^{2}-(\frac{AB}{2})^{2})}$. Deve essere $AB+OH=a$, quindi si ha $AB+\sqrt{r^{2}-(\frac{AB}{2})^{2})}=a$: questa equazione risolta rispetto ad $AB$ ci fornisce la misura di $AB$ in funzione di $a$ che risolve il problema.
Ecco quello che voglio chiedervi.
1) La mia soluzione è molto banale e credo che nella sua banalità funzioni, però resta comunque il problema che della corda $AB$ si determina una misura, mentre a me il problema pare chiedere di tracciare letteralmente il triangolo.
2) Esiste una soluzione sintetica?