SNS 1976 - Numero divisibile per 8

[vict85]

Continuo a ritenere più facile e veloce la mia soluzione e per convincervene la completo e miglioro; la riprendo dall'inizio per non obbligarvi a leggere in due diversi interventi.
Scrivo la formula come $(4+1)^n+2*(4-1)^(n-1)+1$ e applico alle due parentesi la formula per la potenza del binomio; posso trascurare i termini in cui 4 è elevato ad esponenti maggiori di 1 (sono divisibili per 16) nonché, nella seconda, anche quello con l'esponente 1 (moltiplicato per il 2 in evidenza è divisibile per 8). Mi resta quindi $4n+1+2*(-1)^(n-1)+1$ e distinguo due casi:
n è pari) $=4n+1-2+1=4n$ che è divisibile per 8 perché n è pari
n è dispari) $=4n+1+2+1=4(n+1)$ che è divisibile per 8 perché n+1 è pari

Non è una gara... Lo scopo della scuola normale è quello di vedere se sai trovare una soluzione, non se sai trovare la soluzione che hanno pensato loro o una migliore... Ogni soluzione ritengo abbia degli aspetti positivi e degli aspetti negativi. Personalmente trovo quella di Ada la più semplice perché usa semplici calcoli algebrici, l'ipotesi induttiva e che la somma di numeri dispari è pari senza tirar fuori binomiali o l'aritmetica modulare (che tra l'altro tu usi implicitamente quando elimini i multipli di 16 e 8, cosa che in una dimostrazione formale non potresti fare).

[ViciousGoblin]

Sottoscrivo quello che dice vict85 - non e' una gara!.
Personalmente volevo aiutare elios a capire come si usano certe tecniche per cui, per esempio, all'inizio ho seguito la sua idea di usare l'induzione.

Mi pare sia istruttivo vedere piu' procedimenti e confrontarli tra loro, decidendo alla fine quale sia il migliore e quale sia quello che
ha piu' prospettive di essere usato in altre situazioni.

A elios l'ardua sentenza.

[giammaria]

E' semplice anche la tua, ma in generale ritengo che un ragionamento induttivo sia meno intuitivo di un ragionamento diretto. Comunque, la soluzione era iniziata così, e non era male continuare nello stesso modo.

[adaBTTLS]

la traduzione "a parole" della mia è che la differenza tra due "valori consecutivi" è un multiplo di 8.
comunque è vero che i vari tentativi sono partiti da elios e quindi un po' condizionati "a catena", com'è vero che ogni proposta diversa offre comunque uno spunto di riflessione.

[elios]

Dopo mesi di rielaborazione (in realtà avevo perso di vista questo problema, e me ne scuso), trascrivo per amor di chiarezza tutte le soluzioni che sono venute fuori, ringraziando ViciousGoblin, adaBTTLS, giammaria.

1°: $5\cdot 5^n+3( 2\cdot 3^{n-1})+1 =2\cdot 5^n -2 +3(5^n+2 \cdot3^{n-1}+1)=2(5^n-1)+3(5^n+2 \cdot3^{n-1}+1)$. Si dimostra che $5^{n}-1$ e' divisibile per $4$: $5^n - 1 -= 1^n -1 (mod 4) -= 1-1 (mod 4) = 0 (mod 4)$

2°: $5^(n+1)+2*3^n+1=5*5^n+3*2*3^(n-1)+1=(1+4)*5^n+(1+2)*2*3^(n-1)+1=(5^n+2*3^(n-1)+1) (4*5^n+2*2*3^(n-1))={5^n+2*3^(n-1)+1}+{4*(5^n+3^(n-1))}$, la prima "parentesi graffa" è divisibile per 8 per l'ipotesi induttiva, la seconda perché la "parentesi tonda" è un numero pari in quanto somma di due dispari.

3°: Usando l'aritmetica modulo $8$, $5^n+2\cdot 3^{n-1}+1=(-3)^n+(-6)\cdot 3^{n-1}+1=(-1)^n\cdot 3^{n}-2\cdot 3^n+1=((-1)^n-2)3^n+1$. Se $n$ e' pari viene $-3^n+1$ se $n$ e' dispari viene $-3^{n+1}+1$; (in ogni caso l'esponente e' pari). Basta verificare che $3^{2k}=1("mod "8)$, se $k$ e' intero e in effetti $3^{2k}=9^k=1^k=1$ (modulo $8$).

4°: Scrivo la formula come $(4+1)^n+2*(4-1)^(n-1)+1$ e applico alle due parentesi la formula per la potenza del binomio; posso trascurare i termini in cui 4 è elevato ad esponenti maggiori di 1 (sono divisibili per 16) nonché, nella seconda, anche quello con l'esponente 1 (moltiplicato per il 2 in evidenza è divisibile per 8). Mi resta quindi $4n+1+2*(-1)^(n-1)+1$ e distinguo due casi:
n è pari) $=4n+1-2+1=4n$ che è divisibile per 8 perché n è pari
n è dispari) $=4n+1+2+1=4(n+1)$ che è divisibile per 8 perché n+1 è pari