Bilia sul biliardo - SNS 1971

[Tul]

Scusate, forse sono in delirio mistico, ma il ragionamento di dissonance delle copie speculari non può essere traslato da una dimensione a due?
In questo modo salta subito all'occhio che, in un sistema d'assi centrato in $P_0$ con unità pari alla distanza tra $P_0$ e $P_1$ (seguendo il disegno di dissonance), se $\tana$ non è razionale, allora la pallina non passerà mai per nessun altro centro della griglia di biliardi che consideriamo (oddio...mi seguite?)!
Questo naturalmente parlando di un biliardo quadrato con pallina al centro!

Per le dimensioni del biliardo non ci sono problemi perchè dissonance ha ragione, basta dilatare alla fine.

Per la palla non al centro si!
Però se una coordinata di $P$ non è razionale allora basta fare un tiro con "inclinazione razionale" ($\tana\in\mathbb{Q}$), infatti tale tiro sarebbe parallelo ad una retta che unisce due centri di biliardi; se le coordinate sono entrambe razionali al contrario basterà fare un tiro con "inclinazione irrazionale"...

Poi si dilata e abbiamo dimostrato che c'è sempre un tiro del genere...ma probabilmente mi sbaglio!

[elios]

Nel disegno è rappresentato il tavolo (il quadrato più in basso) e delle sue copie speculari ottenute per riflessione di asse il lato superiore.

Scusa, me la rispieghi?

[elios]

Ho letto la soluzione sul libro di Conti e Profeti, non è affatto semplice, almeno per le mie capacità.

Ehm, allora deve essere proprio impossibile.. Che tipo di matematica usa per risolverlo?

[dissonance]

Nel disegno è rappresentato il tavolo (il quadrato più in basso) e delle sue copie speculari ottenute per riflessione di asse il lato superiore.

Scusa, me la rispieghi?

Invece di disegnare la traiettoria tutta intera sul tavolo, creiamo delle copie speculari dello stesso e "srotoliamo" la traiettoria verso l'alto. In questo modo la rappresentazione è più comoda perché l'ordinata continua a crescere anziché oscillare tra $-1$ e $1$. In questo schema, la bilia ripassa dal punto di partenza se e solo se la poligonale rossa intercetta uno dei punti $P_n$. Non ti convince?

[elios]

Nel disegno è rappresentato il tavolo (il quadrato più in basso) e delle sue copie speculari ottenute per riflessione di asse il lato superiore.

Scusa, me la rispieghi?

Invece di disegnare la traiettoria tutta intera sul tavolo, creiamo delle copie speculari dello stesso e "srotoliamo" la traiettoria verso l'alto. In questo modo la rappresentazione è più comoda perché l'ordinata continua a crescere anziché oscillare tra $-1$ e $1$. In questo schema, la bilia ripassa dal punto di partenza se e solo se la poligonale rossa intercetta uno dei punti $P_n$. Non ti convince?

No, più che altro mi chiedo come possa essere equivalente al problema iniziale..

[elios]

E' facile trovare coordinate cartesiane dei punti $P_n, Q_m$: infatti $P_n-=(0, n), Q_m-=(0, (m+2)tana)$.

Non mi riporta l'ordinata di $P_n$.. Non dovrebbe essere $P_n=(0, 2*n)$? E l'ordinata di $Q_m$ come l'hai calcolata?
Grazie di tutte queste spiegazioni, grazie mille..

[elios]

Però se una coordinata di $P$ non è razionale allora basta fare un tiro con "inclinazione razionale" ($\tana\in\mathbb{Q}$), infatti tale tiro sarebbe parallelo ad una retta che unisce due centri di biliardi; se le coordinate sono entrambe razionali al contrario basterà fare un tiro con "inclinazione irrazionale"...

sarebbe parallelo ad una retta che unisce due centri di biliardi? cioè parallela ad un lato del biliardo??

[G.D.]

Ho letto la soluzione sul libro di Conti e Profeti, non è affatto semplice, almeno per le mie capacità.

Ehm, allora deve essere proprio impossibile.. Che tipo di matematica usa per risolverlo?

Non è che usi degli strumenti fantascientifici, il problema, per me, sono le idee che usa per sviluppare la soluzione, il che significa, molto probabilmente, che siano i miei limiti a farmelo vedere così difficile.

[Tul]

Però se una coordinata di $P$ non è razionale allora basta fare un tiro con "inclinazione razionale" ($\tana\in\mathbb{Q}$), infatti tale tiro sarebbe parallelo ad una retta che unisce due centri di biliardi; se le coordinate sono entrambe razionali al contrario basterà fare un tiro con "inclinazione irrazionale"...

sarebbe parallelo ad una retta che unisce due centri di biliardi? cioè parallela ad un lato del biliardo??

No perchè io all'inizio ho detto di seguire l'idea di dissonance ma su due dimensioni...intendevo una cosa così:

[dissonance]

E' facile trovare coordinate cartesiane dei punti $P_n, Q_m$: infatti $P_n-=(0, n), Q_m-=(0, (m+2)tana)$.

Non mi riporta l'ordinata di $P_n$.. Non dovrebbe essere $P_n=(0, 2*n)$? E l'ordinata di $Q_m$ come l'hai calcolata?
Grazie di tutte queste spiegazioni, grazie mille..

Hai ragione elios, è $P_n=(0, 2n)$. Nel complesso non mi sono spiegato per niente bene, adesso provo a fornire una spiegazione più approfondita della mia idea.