[EX] Continuità della norma $L^p$ per $p\to oo$

[fu^2]

si $M(p)$ è non negativo, ho scritto tutto $RR$ ma per surplus... su questo hai ragione. Anche se il fatto che siano non negative vengono da sole.

per come sono stati definiti gli $M(p)$ sono maggioranti della norma $||u||_{p}$.
Essendo $mu$ finita, se ho una costante $c$ posso sempre scrivere $c={c^p}^{1/p}$ e $1={(int_X1dmu)/(mu(X))}^{1/p}

penso che il tuo cruccio non sia questo, ma in quello che non ho scritto. Ovvero specificare meglio quali sono gli $M(p)$ scritto così come ho fatto io è falso...

Se scegliamo $alpha(p)="sup"|u|^p$ avremo che $||u||_p={int_X|u|^pdmu}^{1/p}<={int_X|alpha(p)|dmu}^{1/p}={alpha(p)*mu(X)}^{1/p}$ in particolare ${alpha(p)*mu(X)}^{1/p}<=K$.

Poniamo quindi $M(p)={alpha(p)*mu(X)}^{1/p}$, in questo modo $M(p)>=||u||_p$ e $|u|<=M(p)*mu(X)^{-1/p}$. Inoltre $M(p)<=K$.

ora dovrebbe andare, sistemo tutte le notazioni sopra così è più leggibile. Avevo fatto uno scivolone... prova a rileggere, ora dovrebbe tenere (ho editato il post precedente).

[fu^2]

una domanda che apparentemente non centra nulla, che però è di vitale importanza per il punto 3. e che non riesco a capire se è ovvio o no.. (per la misura di lebesgue in $RR^n$ è ok..)

Sia $(X,Sigma,mu)$ uno spazio di misura, $mu(X)=+oo$. Allora esiste una successione ${G_k}_{k>=1}$ tale che $G_j$ è misurabile per ogni $j$, che $G_k\subG_k+1$, $mu(G_k)<+oo$ e $G_k->X$.


è il fatto di trovarli tutti finiti che mi rende qualche perplessità... voi che ne pensate?


se questo è vero allora ho una mezza idea sulla dimostrazione, infatti per ipotesi abbiamo che $u\in L^r(mu)$ per qualche $r\in (0,+oo)$.

Indichiamo con $||u||_{p,G_k}=(int_{G_k}|u|^pdmu)^{1/p}$ e $||u||_{oo,G_k}="inf"{x\in G_k:mu(|u|>x)=0}$.

Per quanto mostrato in 1) $||u||_{p,G_k}->||u||_{oo,G_k}$ ed essendo che $u*I_{G_k}\in L^r(mu)$ dall'ipotesi, avremo che, per la convergenza monotona, $||u||_{p,G_k}^p->||u||_{p,X}^p$ e, in modo analogo, essendo che ${x\in G_k:mu(|u|>x)=0}subset{x\in G_{k+1}:mu(|u|>x)=0}=>"inf"{x\in G_k:mu(|u|>x)=0}<="inf"{x\in G_{k+1}:mu(|u|>x)=0}$, abbiamo $||u||_{oo,G_k}->>||u||_{oo,X}$. Da cui la tesi.

Convince? per il primo (e anche secondo pezzo) cosa dite?

[fu^2]

nessuno a dunque idee sulla successione di insiemi del post precedente? è un argomento che mi sta interessando ...

Non penso sia facile generalizzare, però se si considerano pelomeno spazi topologici con le misure che contano

per esempio con la misura indotta dalla misura esterna di Lebesgue-Stieltjes

[gugo82]

una domanda che apparentemente non centra nulla, che però è di vitale importanza per il punto 3. e che non riesco a capire se è ovvio o no.. (per la misura di lebesgue in $RR^n$ è ok..)

Sia $(X,Sigma,mu)$ uno spazio di misura, $mu(X)=+oo$. Allora esiste una successione ${G_k}_{k>=1}$ tale che $G_j$ è misurabile per ogni $j$, che $G_k\subG_k+1$, $mu(G_k)<+oo$ e $G_k->X$.


è il fatto di trovarli tutti finiti che mi rende qualche perplessità... voi che ne pensate?

In effetti questa proprietà non è vera in generale.
Ad esempio, prendi $X=RR, \mathcal{M}=P(RR)$ e $mu="misura che conta in " P(RR)$ (ossia $mu(E)="card"(E)="numero di elementi di "E$).

Uno spazio di misura $(X,\mathcal{M},mu)$ per cui esiste una successione di misurabili $(E_n)\subseteq \mathcal{M}$ con $mu(E_n)<+oo$ tale che $X=\bigcup_(n\in NN) E_n$ si chiama spazio di misura $sigma$-finito.
Ovviamente se hai una successione $(E_n)$ che gode delle proprietà suddette, puoi costruire una successione crescente come la tua $(G_n)$: infatti basta porre $G_n=\bigcup_(i=1)^n E_i$ per ottenere una successione crescente di misurabili con misura finita la cui unione è $X$.

Per quanto riguarda il punto 3, ti stai infognando in una cosa assurda.
In uno spazio con misura infinita la seconda (*) si prova uguale con Chebychev, ma la prima no, perchè non posso maggiorare con $||u||_oo*\mu^(1/p)(X)$; quindi il problema è mostrare la prima delle (*).

Il ragionamento è: -Non posso maggiorare come in 1... Ok, allora non mi perdo d'animo. Semplicemente devo trovare un'altro modo per provare la prima (*).-
L'altro modo è sfruttare una disuguaglianza di interpolazione come quella che ho indicato.
Niente di "strano", insomma...

[fu^2]

ok, mettiamoci in uno spazio di misura $sigma$-finito.
Per questi spazi non mi pare che la mia dimostrazione sia troppo lontana dalla realtà, o mi perdo qualche pezzo?

Ora penso a come poter fare in maniera alternativa il primo pezzo

grazie della risposta, a presto!

[gugo82]

${x\in G_k:mu(|u|>x)=0}subset{x\in G_{k+1}:mu(|u|>x)=0}=>"inf"{x\in G_k:mu(|u|>x)=0}<="inf"{x\in G_{k+1}:mu(|u|>x)=0}$

La disuguaglianza tra gli estremi inferiori va invertita; quando allarghi l'insieme, l'estremo inferiore decresce.
Ma evidentemente ciò non cambia la validità del ragionamento (visto che la monotonia ti serve solo per garantire l'esistenza del $lim_k ||u||_(oo,G_k)$).

Ad ogni modo, l'ipotesi di $sigma$-finitezza non serve; la disuguaglianza si prova per spazi di misura generici.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Prendiamo $u \in L^r(\mu)\cap L^oo(\mu)$ e per $r<=p<oo$ scriviamo:

$|u|^p=|u|^r*|u|^(p-r)<= |u|^r*||u||_oo^(p-r)$

da ciò segue che...

P.S.:

Usando la disuguaglianza di Jensen si può mostrare che $||*||_p$ è monotona non decrescente

Siamo sicuri?
Non è che per caso questo vale solo se $mu(X)=1$?

[Mathematico]

Torno al problema perchè mi spiace lasciarlo incompleto, è così caruccio. Grazie al suggerimento di Gugo82:
$|u|^p= |u|^r* |u|^(p-r)<= |u|^r ||u||_{\infty}^(p-r) <= ||u||_{\infty}^r ||u||_{\infty}^(p-r)= ||u||_{\infty}^p$ pertanto:
$||u||_p^p<= ||u||_{\infty}^p=>||u||_p<= ||u||_{\infty}$, passando al limite $p$ abbiamo finito (?!)
Ad ogni modo ho uppato perchè mi interessa il punto 4. Ho pensato, se $\mu(X)=0$ allora $||u||_{p}=0$, ma cosa posso dire di $||u||_{\infty}$?
[Sono le quattro di mattina, quindi siate buoni!! ]

[irenze]

Ad ogni modo ho uppato perchè mi interessa il punto 4. Ho pensato, se $\mu(X)=0$ allora $||u||_{p}=0$, ma cosa posso dire di $||u||_{\infty}$?

$||u||_{\infty}$ è l'estremo superiore a meno di insiemi di misura nulla, quindi direi che in quel caso non è definito. Puoi porlo uguale a zero per convenzione, penso.

[Mathematico]

$||u||_{\infty}$ è l'estremo superiore a meno di insiemi di misura nulla, quindi direi che in quel caso non è definito. Puoi porlo uguale a zero per convenzione, penso.

Grazie Irenze, ma se $||u||_{\infty}=0$ non otteniamo quello che volevamo.. il limite continua a valere

[irenze]

Forse è semplicemente diversa la convenzione. Forse si dovrebbe mettere $-\infty$? Perché in effetti $|| u ||_{\infty} = \text{ess sup}_{X} | u | = \text{inf} {a : \mu( | u (x) | > a) = 0} = -\infty$ (tutti gli $a$ reali soddisfano).