Numeri divisibili per 14 - SNS 1974 (Conferma soluzione)

[elios]

Allora, correggimi se faccio qualche altro errore:
Per le proprietà illustrate dal problema, $am^2+bm+c$ per ogni $m$ non si può dire che sia sempre divisibile per ogni $n$ dispari e ogni $n$ pari non potenza di due. L'unica possibilità si ha invece per $n$ uguale a potenza di due.

Una domanda: le dimostrazioni che hai fatto, sia riguardo il 14, sia poi gli $n$ che si escludono, tu dici che dimostrano che non per ogni $m$ il polinomio è divisibile per quei valori.. Io invece avrei detto che quelle dimostrazioni per assurdo portavano a dire che nessun $m$ rendeva il polinomio divisibile per quei valori.. Perché non posso dirlo? Grazie ancora.

[giammaria]

Allora, correggimi se faccio qualche altro errore:
... non si può dire che sia sempre divisibile per ogni $n$ dispari e ogni $n$ pari non potenza di due.

Va modificato in "ogni $n$ diverso da 2 (e ovviamente da 1)". Il caso di $n$ potenza di 2 era stato inizialmente lasciato in sospeso, ma nel mio intervento successivo l'avevo esaminato, concludendo che si può accettare solo n=2.

Io invece avrei detto che quelle dimostrazioni per assurdo portavano a dire che nessun $m$ rendeva il polinomio divisibile per quei valori.. Perché non posso dirlo?

Perchè ad esempio il polinomio $3m^2+5m+42$ non è divisibile per 14 per ogni m, ma lo è per m=0 o m=14k.
La negazione di "questo è vero per ogni m" è "esistono m per cui non è vero", non "questo è falso per ogni m".

[elios]

Ah ok, ora ho capito! Grazie mille.. =)